Teorema di Dini

[JackedTux]

Ciao a Tutti!
Sono sempre io, nella mia corsa all'ultimo esame in vista della laurea, calculus 2.

Non riesco a capire una soluzione fornita che fa uso del teorema di Dini.

$f(x,y)=x^4-2x^2+e^y+2xy-1$

1. Provare che esiste un'unica soluzione $y=g(x)$ dell'equazione $f(x,y)=0$ definita in un intorno di 0.
2. Determinare il polinomio di Mac Laurin di $g$ di ordine $2$

Per il punto a mi sembra di aver capito che sia sufficiente verificare l'esistenza di un un punto $P$ tale che:
$f(P)=0$ e che $\frac{\partial f}{\partial y}(P)\ne1$ ovvero $P=(0,0)$, allora la prova è data dal teorema di Dini.

Per il punto b invece, sempre per il teorema di Dini si ha che $g'(x)=-\frac{\frac{\partial}{partial x}f(x,g(x))}{\frac{\partial}{\partial y}f(x,g(x))}$ quel che non mi è chiaro è il perché da qui, poi vada ad affermare che il polinomio di MacLaurin di ordine 2 di $g$ sarà $g''(0)\frac{x^2}{2}$,
inoltre non ne scrive l'espressione concreta ma lo lascia così.

Grazie!

[pilloeffe]

Ciao JackedTux,

quel che non mi è chiaro è il perché da qui, poi vada ad affermare che il polinomio di MacLaurin di ordine 2 di $g$ sarà $g''(0)x^2/2$,
inoltre non ne scrive l'espressione concreta ma lo lascia così.

Beh, perché si ha $g(x) = g(0) + g'(0) x + g''(0)x^2/2 + ... $

e $g(0) = g'(0) = 0 $
Secondo me non ne scrive l'espressione concreta perché in generale l'espressione di $g''(x) $ è un po' complicata, poi nel caso in questione devi solo calcolare $ g''(0) $ e potrebbe essere più semplice: puoi trovarla sul tuo testo od anche su questo stesso forum se proprio ti interessa...

[dissonance]

Non devi verificare l'esistenza di \(P\). Il punto \(P\) te lo dà la traccia ed è \(P=(0,0)\).

Per il punto b, invece di lavorare di memoria, parti da questa equazione:
\[
f(x, g(x))=0.\]
Questa equazione è verificata per \(x\) in un intervallino, diciamo \(x\in (-\delta, \delta)\). OK, allora andiamo a derivare
\[\tag{1}
\partial_xf(x, g(x))g'(x)+\partial_yf(x, g(x))g'(x)=0, \]
e da qui si può calcolare \(g'(x)\). A noi in effetti serve \(g'(0)\), che è data da
\[
\partial_xf(0, 0)g'(0)+\partial_yf(0, 0)g'(0)=0;\]
nota infatti che \(g(0)=0\) (perché?). A questo punto verrà fuori che \(g'(0)=0\). E chi è il polinomio di McLaurin di una funzione \(g\) tale che \(g(0)=g'(0)=0\)?

NOTA FINALE: Se avessi voluto calcolare \(g''(0)\), avresti dovuto derivare di nuovo la (1) e poi impostare \(x=0\).

[JackedTux]

Beh, perché si ha $g(x) = g(0) + g'(0) x + g''(0)x^2/2 + ... $

ah ok, giustamente perché il polinomio di Taylor è

$\frac{f(x_0)}{0!}+\frac{f'(x_0)}{1!}(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2 + .. $, e in questo caso abbiamo $x_0=0$ e $f(0)=f'(0)=0$.

NOTA FINALE: Se avessi voluto calcolare \( g''(0) \), avresti dovuto derivare di nuovo la (1) e poi impostare \( x=0 \).

Allora me lo son calcolato, dalla $(1)$ abbiamo che $g'(0)=-\frac{\frac{\partial}{partial x}f(x,g(x))}{\frac{\partial}{\partial y}f(x,g(x))}=-\frac{4x^3-4x+2y}{e^y+2x}$ sappiamo che $f(x,g(x))=0$ e quindi si ottiene $g'(0)=-\frac{0-0+0}{1+0}=0$
derivando di nuovo si ha $g''(0)=+\frac{12x^2-4}{e^y}$ immagino che sia sempre calcolato in $f(x,g(x))=0$ e quindi $g''(0)=\frac{-4}{1}=-4$ infine abbiamo detto che il polinomio cercato sarà $g''(0)\frac{x^2}{2}= -4\frac{x^2}{2}=-2x^2$

Io poi ho provato
a calcolarmi il polinomio a mano, sostituendo ad $e^y$ il suo polinomio, e troncando al $2°$ grado,
e così facendo ho ottenuto $-2x^2+2xy+y+\frac{y^2}{2}$
Per sicurezza ho chiesto anche a matlab, e ha restituito $-2x^2+2xy+e^y-1$, che immagino sia la stessa cosa.

Il punto è
che usando Dini tutti quei termini con la $y$ non ci sono, abbiamo trovato solo $-2x^2$, come mai?
Perché $y=0$ ? o sto in generale facendo confusione?

Sempre Grazie.

[pilloeffe]

Il punto è
che usando Dini tutti quei termini con la y non ci sono, abbiamo trovato solo $−2x^2 $, come mai?
Perché $y=0 $? o sto in generale facendo confusione?

Stai facendo confusione: $g(x) $ è una funzione di $x$, perché ti aspetti che compaia $y$?

$ g'(0)=-\frac{\frac{\partial}{partial x}f(x,g(x))}{\frac{\partial}{\partial y}f(x,g(x))}=-\frac{4x^3-4x+2y}{e^y+2x} $

Questo non può essere, $g'(0) $ è un numero, non possono comparire $x$ e $y$...
Sulle prime ho pensato ad un errore di distrazione, ma poi hai rifatto lo stesso errore quando

derivando di nuovo si ha $g''(0)=+\frac{12x^2-4}{e^y} $

Anche questo non può essere, $g''(0) $ è un numero, non possono comparire $x$ e $y$...

Potresti dare un'occhiata ad esempio a questo documento trovato in rete che sembra fare al caso tuo:
http://www.mat.unimi.it/users/tarsi/pdf/An31213/appFzImplicite3.pdf