Lavoro di un campo lungo una curva

[Capulji22]

Ciao a tutti .
Mi sto esercitando su vecchi temi d'esame di Analisi 2 e c'è un esercizio sul lavoro di un campo lungo una curva che non riesco a risolvere.
Dato un campo F = (x-y-2z, 2x+3y-z, z+2y+ z), devo calcolare il lavoro lunga la curva γ: $ { ( x^2+y^2+z^2-8x-4y-2z+19=0 ),( x-y-z=1 ):} $
In generale dato un campo e una curva parametrizzata sono in grado di calcolare il lavoro, ma in questo caso non capisco come parametrizzare la curva. (La soluzione è L=2$ sqrt(3) $π )
Grazie.

[Quinzio]

Il problema e' che se segui la strada della parametrizzazione ci si va ad infilare in integrali lunghi e pieni di calcoli, e durante un esame questo non e' il massimo. Come in molti esercizi d'esame c'e' una scorciatoia che implica l'uso di qualche teorema o risultato noto, e in questo caso il teorema da usare e' quello del rotore. Alla fine poi vedremo che il rotore e' costante e quindi non bisogna svolgere alcun integrale.
Comunque gia' con la scorciatoia non e' una passeggiata, quindi...

Innanzitutto bisogna capire cosa e' questo oggetto
$ x^2+y^2+z^2-8x-4y-2z+19=0 $.
E' una sfera. Come la si riconosce ? Perche' e' una quadrica, e i coefficienti dei termini $x^2, y^2, z^2$ sono $+1,+1,+1$.
Vedi https://it.wikipedia.org/wiki/Quadrica
Questo invece:
$ x-y-z=1 $
e' un piano e dovrebbe essere facile riconoscerlo. E' un'equazione lineare in $x,y,z$.

Adesso, siccome sono a sistema, l'intersezione di una sfera con un piano cos'e' ?
E' una circonferenza. Non puo' essere nient'altro. (Ovviamente il piano e la sfera si devono intersecare in qualche punto).

Calcoliamo il centro e il raggio della sfera
$ x^2+y^2+z^2-8x-4y-2z+19=0 $.
Completiamo i quadrati
$ x^2-8x+ 16+y^2-4y+4+z^2-2z+1= -19+16+4+1 $.
$ (x-4)^2 + (y-2)^2+(z-1^2)= 2 $.
Da cui si vede chiaramente che il raggio della sfera e' $\sqrt 2$ e il centro e' $(4,2,1)$.

Adesso dobbiamo vedere dov'e' il centro della circonferenza (intersezione tra piano e sfera).
Per fare questo prendiamo una retta che passa per il centro della sfera (un diametro) che sia perpendicolare al piano.
Poi vediamo l'intersezione tra il diametro e il piano.
La normale al piano e' $(1,-1,-1)$. Si prendono i coefficienti delle variabili di $x-y-z=1$
Quindi una retta perpendicolare al piano e' (in forma parametrica): $t,-t,-t$.
La facciamo passare per il centro della sfera e otteniamo immediatamente $t+4,-t+2,-t+1$, ovvero
${ ( x=t+4 ),( y=-t+2 ),( z=-t+1 ):}$.
La mettiamo a sistema col piano $x-y-z=1$ e otteniamo
$t+4-(-t+2)-(-t+1) = 1$ da cui $t = 0$.
Da cui sappiamo che il centro della circonferenza e' $(4,2,1)$ ovvero lo stesso della sfera.
Quindi la circonferenza e' un circonferenza massima, e' un equatore della sfera, e quindi ha lo stesso raggio, cioe' $\sqrt2$.

Adesso viene il bello. Uno potrebbe proseguire con la parametrizzazione, ma con il teorema del rotore viene tutto piu' facile.
Il teorema del rotore dice che:
$${\displaystyle \oint _{\Gamma }\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \Gamma =\iint _{S}(\nabla \times \mathbf {F} )\,\mathop {} \!\mathrm {\cdot } \,\mathbf {\hat {n}} \,dS}$$
https://www.google.com/search?channel=f ... ema+rotore

Quello a sinistra dell'uguale e' quello che vorremmo calcolare, ovvero l'integrale di linea del lavoro. Ma e' difficile da calcolare.
Il teorema ci dice che e' uguale all'integrale a destra, cioe' il rotore integrato sull'area.
L'area su cui integrare e' il cerchio che abbiamo trovato prima.
Quindi ci serve il rotore $\nabla \times \bb F$ e la normale $\hat \bb n$.

La normale del cerchio e' la stessa del piano quindi $(1,-1,-1)$. Lo dobbiamo normalizzare, quindi otteniamo:
$\hat \bb n = {(1,-1,-1)}/ \sqrt3$

Per il rotore in $RR^3$ c'e' la formula:

$$\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} =\mathbf {i} \left({\frac {\partial F_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{y}}{\partial z}}\right)+\mathbf {j} \left({\frac {\partial F_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{z}}{\partial x}}\right)+\mathbf {k} \left({\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}\right)$$
https://it.wikipedia.org/wiki/Rotore_(matematica)#Coordinate_cartesiane

$\bb F$ e' la forza di cui abbiamo le 3 componenti in $x,y,z$.

$\bb F_x = x-y-2z$
$\bbF_y = 2x+3y-z$
$\bb F_z = x+2y+ z$
Svolgendo i calcoli si arriva a $\nabla \times \bb F = 3 \bb \hat i - 3 \bb \hat j + 3 \bb \hat k = (3,-3,3)$

Riguardando la formula del teorema del rotore, vediamo che bisogna calcolare
$(\nabla \times \bb F) \cdot \bb \hat n = (3,-3,3)\cdot 1/sqrt3(1,-1,-1) = \sqrt3$.

Quindi il rotore e' costante ed e' uguale a $\sqrt 3$.
Il fatto che sia costante ci aiuta molto, perche' in definitiva facciamo l'integrale di una costante su tutto il cerchio.
Ovvero moltiplichiamo l'area del cerchio per la costante
$\int \int_S \sqrt 3\ dS = R^2 \pi \sqrt 3 $

In precedenza avevamo calcolato il raggio dl cerchio come $R = \sqrt 2 $, quindi
in definitiva otteniamo il risultato di $2 \pi \sqrt3$.

[Capulji22]

Grazie mille, è tutto chiaro.

[Lebesgue]

Giusto una cosa @Quinzio: penso hai scordato qualche ambiente matematico qua e là, perché ad esempio

Il teorema del rotore dice che:
{\displaystyle \oint _{\Gamma }\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \Gamma =\iint _{S}(\nabla \times \mathbf {F} )\,\mathop {} \!\mathrm {\cdot } \,\mathbf {\hat {n}} \,dS}
https://www.google.com/search?channel=f ... ema+rotore

Qui non vengono visualizzate a schermo le formule, ma solo il codice (ed anche più giù).

Inoltre si poteva vedere subito che l'intersezione tra il piano e la sfera era una circonferenza massima, in quanto il piano passa per il centro della sfera, così uno risparmiava un pochino di tempo sui calcoli.

[Quinzio]

Giusto una cosa @Quinzio: penso hai scordato qualche ambiente matematico qua e là, perché ad esempio

Il teorema del rotore dice che:
{\displaystyle \oint _{\Gamma }\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \Gamma =\iint _{S}(\nabla \times \mathbf {F} )\,\mathop {} \!\mathrm {\cdot } \,\mathbf {\hat {n}} \,dS}
https://www.google.com/search?channel=f ... ema+rotore

Qui non vengono visualizzate a schermo le formule, ma solo il codice (ed anche più giù).

Inoltre si poteva vedere subito che l'intersezione tra il piano e la sfera era una circonferenza massima, in quanto il piano passa per il centro della sfera, così uno risparmiava un pochino di tempo sui calcoli.

Giustissimo.

Io vedo correttamente le formule.
E' strano.

[Lebesgue]

Giustissimo.

Io vedo correttamente le formule.
E' strano.

Ora le mette a schermo anche a me, non so forse era un problema momentaneo