l'oscilloscopio ha scritto:Il problema è un altro.
Io parlo puramente della soluzione generale complessa, il fatto è che non capisco perché dici che non ho spiegato cosa sia, mi sembra talmente evidente che capisco che a questo punto il problema sia lì... devo compiere qualche errore scemo che non vedo.
Vediamo se quindi riesco a chiarire cosa intendo per "generale complessa":
Io ho l'equazione $(d^2x)/(dt^2)+omega^2x=0$, posso supporre esista una funzione complessa $x(t)$ che risolva quella equazione? Secondo me sì, basta che sia una funzione di codominio complesso che ivi sostituita mi darà zero, questa è una soluzione complessa.
[volendo specializzare al nostro esempio UNA soluzione complessa può essere: $x_1(t)=x_0e^(-iomegat)$ così come un'ALTRA può essere: $x_1(t)=x_0e^(iomegat)$, ma non sono ancora le GENERALI]
Cosa intendo quindi per soluzione generale complessa? Una soluzione, di nuovo: complessa, che dovendo risolvere una eq. diff. di II ordine avrà due parametri liberi. Fine, solo quello. Esattamente come la soluzione reale, ma complessa. Euristicamente mi attendo quindi possa essere una combinazione lineare delle x1 e x2 complesse sopra citate, proprio come per il caso reale. Non capisco perché questo non possa funzionare.
Da qui la domanda:Domanda: se io predo la soluzione $x_1(t)=x_0e^(-iomegat)$ dato che posso riscriverla come $x_0'e^(-ialpha)*e^(-iomegat)=x_0'e^(-i(omegat+alpha))$ secondo il Prof avendo due parametri liberi è già una soluzione generale, quindi essa contiene già tutta l'informazione contenuta anche in $x_2(t)=x_1e^(iomegat)$ e questo mi stupisce perché avendo due soluzioni (come nel caso reale) mi attendevo che anche qui per avere la soluzione GENERALE complessa andassero combinate tra loro. E invece no, magia, non c'è bisogno: la soluzione complessa $x_1(t)$ contiene già anche il caso $x_2(t)$. Per contiene intendo dire che rimaneggiando $x_1(t) in CC$ posso trovare $x_2(t) in CC$.
Io rimango nel complesso, non so parlando di riportarmi nel caso di soluzione reale. Quello è più che chiaro.
l'oscilloscopio ha scritto:coadiuvato dalla frase del prof che diceva che c'erano due parametri liberi in $x_1(t)=c_1⋅e^{- i\omega t} $ riscritta come $x_1(t) = b⋅e^{- i(\omega t + \alpha)}$, $b \in \RR $ e che quindi era soluzione generale
l'oscilloscopio ha scritto:1) mi pare non fosse d'accordo che la sol. generale complessa fosse somma delle due x1 e x2 (proprio come nel caso reale)
2) non condividesse il concetto di soluzione/integrale generale complesso.
Noodles ha scritto:integrale generale complesso:
$[c_1 in CC] ^^ [c_2 in CC] $
$x(t)=c_1*e^(-i\omega t)+c_2*e^(i\omega t) $
mediante il quale risolvere il problema di Cauchy nel caso in cui la funzione di variabile reale sia a valori complessi:
$[\alpha in CC] ^^ [\beta in CC] $
$[x(t_0)=\alpha] ^^ [\dot x(t_0)=\beta] $
Per vedere che $x_0'e^(-i(omegat+alpha))$ NON E' una soluzione generica, si provi a impostare $x_0$ e $\alpha$ in modo da fare $x_0'e^(-i(omegat+alpha)) = e^(i omega t)$. Non ci si riesce.
In quest'ottica considerare anche $e^(-i*omega*t)=cos(omega t) - i sin(omega t)$ non avrebbe aggiunto nulla perchè avrei ottenuto le stesse 2 funzioni (per l'arbitrarietà delle costanti che abbia $sin(omega t)$ oppure $- sin(omega t)$ è indifferente)
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