Equazione differenziale oscillatore armonico

[Noodles]

Avevo capito che tu volessi ricavare l'integrale generale reale:

$x(t)=A*cos\omegat+B*sin\omegat$

a partire da entrambi gli integrali particolari complessi:

$[x_1(t)=e^(-i\omegat)] ^^ [x_2(t)=e^(i\omegat)]$

cioe:

$[x(t)=c_1*e^(-i\omegat)+c_2*e^(i\omegat)] ^^ [c_2=bar(c_1)] rarr$

$rarr [x(t)=2*Re(c_1)*cos\omegat+2*Im(c_1)*sin\omegat] ^^ [A=2*Re(c_1)] ^^ [B=2*Im(c_1)]$

senza necessariamente considerre la parte reale e la parte immaginaria di uno solo dei due integrali particolari complessi:

$x_1(t)=e^(-i\omegat) rarr$

$rarr x_1(t)=cos\omegat-isin\omegat rarr$

$rarr x(t)=A*cos\omegat+B*sin\omegat$

oppure:

$x_2(t)=e^(i\omegat) rarr$

$rarr x_2(t)=cos\omegat+isin\omegat rarr$

$rarr x(t)=A*cos\omegat+B*sin\omegat$

Inutile dire che i due metodi sono del tutto equivalenti.

[l'oscilloscopio]

@noodles

Ah ok, ora ho capito cosa intendevi. In realtà non ci avevo pensato ed è comunque un utile intervento perché non l'avevo manco considerato XD.

In realtà credo il professore volesse dire che dato che ho due parametri liberi in qualche modo quella segnalata è una soluzione generale che ci attendiamo avere due parametri liberi appunto.

Pero il problema che non capisco è quello segnalato nell'ultimo messaggio a pilloeffe e nella pagina precedente in vari messaggi, perché non riesco davvero a comprendere le parti che dicevo:

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

per soluzione generale complessa intendevo la funzione phi che renda vera l'uguaglianza https://www.science.unitn.it/~fisica1/f ... node3.html cioè la soluzione che "racchiude" tutte le funzioni con parametri (due) che risolvono quell'equazione.

Insomma al pari della soluzione reale generale che è: $Asin(omegat+alpha')$ data dalla somma/combinazione lineare di $x_1(t)=Asinomegat$ e $x_2(t)=Bcosomegat$

Vediamo cosa succede se ne facciamo la somma ottenendo quella che tu chiami "soluzione generale complessa" $x_{g}(t)$:

$x_{g}(t) = x_1 (t) + x_2 (t) = (x_0' + x_1') cos(\omega t + alpha) + i(x_0' - x_1') sin(\omega t + \alpha) $

Che cosa contiene questa "soluzione generale complessa" che non sia già contenuto in ognuna delle due soluzioni $x_1(t) $ e $x_2(t) $ singolarmente prese? Nulla.

Sì esatto ma quello mi stupisce infatti, perché non comprendo il motivo per cui nel caso reale devo combinare le due soluzioni $x_1(t)=Asinomegat$ e $x_2(t)=Bcosomegat$ per avere la "generale", mentre per la funzione soluzione complessa $x_1(t)=x_0e^(-iomegat)$ non ho bisogno di combinarla con: $x_2(t)=x_1e^(iomegat)$, da $x_1(t)=x_0e^(-iomegat)$ ho la stessa informazione di $x_2(t)=x_1e^(iomegat)$ come dici tu.
Ma da $x_1(t)=Asinomegat$ non avrei mai la stessa informazione fornita da: $x_2(t)=Bcosomegat$ (essendo funzioni linearmente indipendenti tra loro, dovrei combinarle con due parametri liberi per avere tutte/generali le soluzioni).

L'unico punto che mi rimane dubbio è questo: nel formalismo complesso della soluzione per la nostra eq. reale cosa troviamo? Beh troviamo due funzioni: $x(t)=x_0e^(-iomegat)$ (a) e $x(t)=x_1e^(iomegat)$ (b) con $x_0, x_1 in CC$ soluzioni complesse.

Fin qui ok no? bene, detto ciò il prof prende la prima delle due funzioni (la "a") e la elabora usando la scrittura esponenziale del complesso: $x(t)=x_0e^(-iomegat)=x_0'e^(-ialpha)*e^(-iomegat)=x_0'e^(-i(omegat+alpha))$ benissimo.

Ora il dubbio: (cit prof.) "siccome è di secondo ordine l'eq. diff. ci attendiamo due parametri liberi e quindi va da sé che questa funzione è la famiglia di funzioni soluzione della eq. differenziale" proprio in virtù di avere due parametri $alpha$ e $x'_0$ liberi.
CIoè sta dicendo che la soluzione complessa $x_0'e^(-i(omegat+alpha))$ è soluzione generale (complessa non ancora reale) della equazione differenziale. E a me par strano perché come soluzione COMPLESSA mi aspetterei una cobinazione lineare sia di (a) che di (b), cioè di entrambe le soluzioni. Ma noi siamo pervenuti ad $x_0'e^(-i(omegat+alpha))$ solamente sfruttando (a) non curandoci di (b). Come fa quindi (a) a comprendere anche la soluzione (ripeto complessa) (b)?

è più che altro questo che non mi torna.

[pilloeffe]

per soluzione generale complessa intendevo la funzione phi che renda vera l'uguaglianza https://www.science.unitn.it/~fisica1/f ... node3.html cioè la soluzione che "racchiude" tutte le funzioni con parametri (due) che risolvono quell'equazione.

Quel link che ti ha scritto ingres casomai è ad ulteriore riprova di ciò che ti ho già scritto e cioè che se una funzione complessa $\phi(x)$ è soluzione di un'equazione differenziale lineare sono soluzioni anche la sua parte reale e la sua parte immaginaria: non c'è scritto da nessuna parte che $\phi(x)$ è la somma di due funzioni complesse $\phi_1(x)$ e $\phi_2(x)$ tipo $x_1(t) $ e $x_2(t) $, perché infatti non è così: $\phi(x)$ è $x_1(t) $ oppure $x_2(t) $. Questo è il vantaggio di fare uso di soluzioni complesse. Capisco che possa stupire, ma è così: non c'è alcuna soluzione generale complessa

che "racchiude" tutte le funzioni con parametri (due) che risolvono quell'equazione.

Esatto, due parametri: d'altronde se ne avessi tre o quattro, cosa mai potresti fartene dei parametri eccedenti i due?
Poi naturalmente è vero che la somma di soluzioni è ancora soluzione, ma questa è una proprietà generale delle equazioni differenziali lineari omogenee.

[l'oscilloscopio]

Sì, ma credo la mia domanda sia stata invertita nel senso: io non volevo chiedere questo: "non c'è scritto da nessuna parte che ϕ(x) è la somma di due funzioni complesse ϕ1(x) e ϕ2(x)"

Piuttosto la domanda era questa: quando risolvo in modo classico (senza introdurre soluzioni complesse) l'equazione e trovo le funzioni reali soluzioni in genere trovo che possono essere di due tipo:
$x_1(t)=Asinomegat$ and $x_2(t)=Acosomegat$
Prese singolarmente x1 e x2 non sono ancora la soluzione GENERALE, è solo combinandole che lo diventano introducendo appunto quei due parametri "liberi" che di solito fisseremo con un problema di cauchy
(fin qui credo che siamo tutti d'accordo, no?)

Bene, a questo punto dicevo: se introduco una trattazione con ipotetica funzione soluzione anche complessa: $ϕ=x(t) in CC$ quel che succede è che ci troveremo, al pari del caso reale, due soluzioni (per l'equazione in esame $(d^2x)/(dt^2)+omega^2x=0$):

$x_1(t)=x_0e^(-iomegat)$ and $x_2(t)=x_1e^(iomegat)$ (complesse dato che accettiamo le complesse ora).

Domanda: se io predo la soluzione $x_1(t)=x_0e^(-iomegat)$ dato che posso riscriverla come $x_0'e^(-ialpha)*e^(-iomegat)=x_0'e^(-i(omegat+alpha))$ secondo il Prof avendo due parametri liberi è già una soluzione generale, quindi essa contiene già tutta l'informazione contenuta anche in $x_2(t)=x_1e^(iomegat)$ e questo mi stupisce perché avendo due soluzioni (come nel caso reale) mi attendevo che anche qui per avere la soluzione GENERALE complessa andassero combinate tra loro. E invece no, magia, non c'è bisogno: la soluzione complessa $x_1(t)$ contiene già anche il caso $x_2(t)$. Per contiene intendo dire che rimaneggiando $x_1(t) in CC$ posso trovare $x_2(t) in CC$.

Perché c'è questa differenza con il caso reale? Ossia che basta una delle due soluzioni per avere la "soluzione generale complessa", quando nel caso reale invece ne devo combinare due? Questa era la domanda

[l'oscilloscopio]

Bene, a questo punto dicevo: se introduco una trattazione con ipotetica funzione soluzione anche complessa: $ϕ=x(t) in CC$ quel che succede è che ci troveremo, al pari del caso reale, due soluzioni (per l'equazione in esame $(d^2x)/(dt^2)+omega^2x=0$):

$x_1(t)=x_0e^(-iomegat)$ and $x_2(t)=x_1e^(iomegat)$ (complesse dato che accettiamo le complesse ora).

Domanda: se io predo la soluzione $x_1(t)=x_0e^(-iomegat)$ dato che posso riscriverla come $x_0'e^(-ialpha)*e^(-iomegat)=x_0'e^(-i(omegat+alpha))$ secondo il Prof avendo due parametri liberi è già una soluzione generale, quindi essa contiene già tutta l'informazione contenuta anche in $x_2(t)=x_1e^(iomegat)$ e questo mi stupisce perché avendo due soluzioni (come nel caso reale) mi attendevo che anche qui per avere la soluzione GENERALE complessa andassero combinate tra loro. E invece no, magia, non c'è bisogno: la soluzione complessa $x_1(t)$ contiene già anche il caso $x_2(t)$. Per contiene intendo dire che rimaneggiando $x_1(t) in CC$ posso trovare $x_2(t) in CC$.


Perché c'è questa differenza con il caso reale? Ossia che basta una delle due soluzioni per avere la "soluzione generale complessa", quando nel caso reale invece ne devo combinare due? Questa era la domanda

Non vorrei sia poco chiara una cosa, in questa seconda parte con $x_1(t)$ e $x_2(t)$ intendo le funzioni soluzione complesse non vorrei si pensi x(t) intenda reale, forse è qui la confusione $ϕ=x(t) in CC$

Sia chiaro

[pilloeffe]

Sì, ma credo la mia domanda sia stata invertita nel senso: io non volevo chiedere questo: "non c'è scritto da nessuna parte che ϕ(x) è la somma di due funzioni complesse ϕ1(x) e ϕ2(x)"

Eh, ma allora non puoi usare il link che ti ha scritto ingres per spiegare quanto

cosa intendi per soluzione generale complessa di un'equazione differenziale reale proveniente da un problema fisico reale, dalla quale ci aspettiamo una soluzione generale reale

Quindi non l'hai ancora spiegato.

$x_1(t)=Asin(\omega t)$ and $x_2(t)=Acos(\omega t) $

No, $x_1(t)=Asin(\omega t)$ e $x_2(t)=Bcos(\omega t) $ oppure $x_1(t)=Bsin(\omega t)$ e $x_2(t)=Acos(\omega t) $: i parametri devono sempre essere due, perché solo così in un problema di Cauchy ottieni il sistema

${(x(0) = B),(x'(0) = \omega A):} $

oppure il sistema

${(x(0) = A),(x'(0) = \omega B):} $

mi attendevo che anche qui per avere la soluzione GENERALE complessa andassero combinate tra loro.

Ancora devi spiegarmi che cosa intendi per soluzione generale complessa di un'equazione differenziale reale proveniente da un problema fisico reale, dalla quale ci aspettiamo una soluzione generale reale.

E invece no, magia, non c'è bisogno

La magia, se così la vogliamo chiamare, è dovuta al fatto che stai usando funzioni complesse $f : \RR \rightarrow \CC $ (e in $\CC $ ogni numero complesso $z = x + i y = A(cos \alpha + i sin\alpha) = A e^{i \alpha}$ è già di per sè individuato dai due numeri reali $x$ e $y$ o $A$ e $\alpha$) per risolvere un'equazione differenziale reale proveniente da un problema fisico reale, dalla quale ci aspettiamo una soluzione generale reale, sicché l'idea è che alla fine si prendano la parte reale ($\in \RR $) o la parte immaginaria ($\in \RR $) della soluzione in $\CC $, che sono anch'esse soluzioni (e qui sì che possiamo usare quanto riportato nel link che ti ha già mostrato ingres). Quanto alla somma delle soluzioni complesse ti ho già dimostrato che se si vuole pervenire al caso reale, che poi alla fine è quello che interessa, occorrono condizioni sulle costanti (che ti ha mostrato anche Noodles) per arrivare ad avere due e solo due parametri $A$ e $B$ per la soluzione $Asin(\omega t) + B cos(\omega t)$ o $A$ e $\alpha $ se la scriviamo nelle forme equivalenti $Asin(\omega t + \alpha) $ o $Acos(\omega t + \alpha) $ che sono le stesse che si ottengono prendendo la parte reale o la parte immaginaria di ognuna delle due soluzioni complesse $x_1(t) $ o $x_2(t) $

[l'oscilloscopio]

$x_1(t)=Asin(\omega t)$ and $x_2(t)=Acos(\omega t) $

No,

Ho semplicemente fatto un typo, voleva essere ovviamente un B!

Per il resto...

In realtà il problema nel "passaggio al reale" come ripeto da più volte non mi crea problemi: l'ho capito e ho capito che avendo due parametri e due funzioni linearmente indipendenti: sin, cos (di parte reale e complessa, che sono reali) è evidente che ho la soluzione generale reale. E questi parametri come fai notare ci vengono "a gratis" dalla trattazione complessa... tutto chiaro, ripeto.

Il problema è un altro.
Io parlo puramente della soluzione generale complessa, il fatto è che non capisco perché dici che non ho spiegato cosa sia, mi sembra talmente evidente che capisco che a questo punto il problema sia lì... devo compiere qualche errore scemo che non vedo.

Vediamo se quindi riesco a chiarire cosa intendo per "generale complessa":
Io ho l'equazione $(d^2x)/(dt^2)+omega^2x=0$, posso supporre esista una funzione complessa $x(t)$ che risolva quella equazione? Secondo me sì, basta che sia una funzione di codominio complesso che ivi sostituita mi darà zero, questa è una soluzione complessa.
[volendo specializzare al nostro esempio UNA soluzione complessa può essere: $x_1(t)=x_0e^(-iomegat)$ così come un'ALTRA può essere: $x_1(t)=x_0e^(iomegat)$, ma non sono ancora le GENERALI]

Cosa intendo quindi per soluzione generale complessa? Una soluzione, di nuovo: complessa, che dovendo risolvere una eq. diff. di II ordine avrà due parametri liberi. Fine, solo quello. Esattamente come la soluzione reale, ma complessa. Euristicamente mi attendo quindi possa essere una combinazione lineare delle x1 e x2 complesse sopra citate, proprio come per il caso reale. Non capisco perché questo non possa funzionare.

Da qui la domanda:

Domanda: se io predo la soluzione $x_1(t)=x_0e^(-iomegat)$ dato che posso riscriverla come $x_0'e^(-ialpha)*e^(-iomegat)=x_0'e^(-i(omegat+alpha))$ secondo il Prof avendo due parametri liberi è già una soluzione generale, quindi essa contiene già tutta l'informazione contenuta anche in $x_2(t)=x_1e^(iomegat)$ e questo mi stupisce perché avendo due soluzioni (come nel caso reale) mi attendevo che anche qui per avere la soluzione GENERALE complessa andassero combinate tra loro. E invece no, magia, non c'è bisogno: la soluzione complessa $x_1(t)$ contiene già anche il caso $x_2(t)$. Per contiene intendo dire che rimaneggiando $x_1(t) in CC$ posso trovare $x_2(t) in CC$.

Io rimango nel complesso, non so parlando di riportarmi nel caso di soluzione reale. Quello è più che chiaro.

Ti ringrazio

[Noodles]

@ l'oscilloscopio

Nel mio primo messaggio avevo già riportato l'integrale generale complesso:

$[c_1 in CC] ^^ [c_2 in CC]$

$x(t)=c_1*e^(-i\omegat)+c_2*e^(i\omegat)$

mediante il quale risolvere il problema di Cauchy nel caso in cui la funzione di variabile reale sia a valori complessi:

$[\alpha in CC] ^^ [\beta in CC]$

$[x(t_0)=\alpha] ^^ [dotx(t_0)=\beta]$

Ad ogni modo, non ho ancora capito che cosa non ti torni dei contenuti che avevo esposto. Insomma, mi sembrava di aver colto il punto che ponevi e di essere stato sufficientemente esaustivo. Se può servire ribadirlo, l'integrale generale complesso non è:

$c_1 in CC$

$x_1(t)=c_1*e^(-i\omegat)$

non è:

$c_2 in CC$

$x_2(t)=c_2*e^(i\omegat)$

è:

$[c_1 in CC] ^^ [c_2 in CC]$

$x(t)=c_1*e^(-i\omegat)+c_2*e^(i\omegat)$

[l'oscilloscopio]

è:

$[c_1 in CC] ^^ [c_2 in CC]$

$x(t)=c_1*e^(-i\omegat)+c_2*e^(i\omegat)$

Sì, esattamente, coglie nel segno. Però continuo a non capire cosa volesse dirmi pilloeffe e quindi avevo chiesto ulteriori spiegazioni, poiché:
1) mi pare non fosse d'accordo che la sol. generale complessa fosse somma delle due x1 e x2 (proprio come nel caso reale)
2) non condividesse il concetto di soluzione/integrale generale complesso.

Ma non capisco perché.

Il tutto era coadiuvato dalla frase del prof che diceva che c'erano due parametri liberi in $x_1(t)=c_1*e^(-i\omegat)$ riscritta come $x_1(t)=b*e^(-i(omegat+alpha)), b in RR$ e che quindi era soluzione generale (ma mi sembra che anche tu smentisci), quando invece secondo me: $x_2(t)=c_2*e^(i\omegat)$ non contiene già x1, ma come dici tu deve essere la combinazione lineare di x1+x2.

Cioè insomma, la tua risposta, se ho ben compreso, sembra dar ragione ai miei dubbi!

[Noodles]

Che qualcosa non tornava era stato scritto all'inizio del mio primo messaggio:

$x(t)=x_0'e^(-i(omegat+alpha))$

... il prof. dice "siccome è di secondo ordine l'eq. diff. ci attendiamo due parametri e quindi va da sé che questa funzione è la famiglia di funzioni soluzione della eq. differenziale".

Se hai riportato fedelmente quello che ha detto il docente, l'affermazione non ha senso. Del resto, la famiglia di soluzioni complesse:

$x(t)=x_0'e^(-i(omegat+alpha))$

non può essere, nel senso letterale, la famiglia di soluzioni reali solo perchè entrambe dipendono da due costanti arbitrarie reali. Anche se il docente intendeva riferirsi alla parte reale e alla parte immaginaria separatamente, avrebbe dovuto argomentare diversamente.

Vero è che "verba volant, scripta manent". Sul resto, mi trovi d'accordo su tutto.