l'oscilloscopio ha scritto:$x_1(t)=Asin(\omega t)$ and $x_2(t)=Acos(\omega t) $
No,
Ho semplicemente fatto un typo, voleva essere ovviamente un B!
Per il resto...
In realtà il problema nel "passaggio al reale" come ripeto da più volte non mi crea problemi: l'ho capito e ho capito che avendo due parametri e due funzioni linearmente indipendenti: sin, cos (di parte reale e complessa, che sono reali) è evidente che ho la soluzione generale reale. E questi parametri come fai notare ci vengono "a gratis" dalla trattazione complessa... tutto chiaro, ripeto.
Il problema
è un altro.
Io parlo puramente della soluzione
generale complessa, il fatto è che non capisco perché dici che non ho spiegato cosa sia, mi sembra talmente evidente che capisco che a questo punto il problema sia lì... devo compiere qualche errore scemo che non vedo.
Vediamo se quindi riesco a chiarire cosa intendo per "generale complessa":
Io ho l'equazione $(d^2x)/(dt^2)+omega^2x=0$, posso supporre esista una funzione complessa $x(t)$ che risolva quella equazione? Secondo me sì, basta che sia una funzione di codominio complesso che ivi sostituita mi darà zero, questa è
una soluzione complessa.
[volendo specializzare al nostro esempio UNA soluzione complessa può essere: $x_1(t)=x_0e^(-iomegat)$ così come un'ALTRA può essere: $x_1(t)=x_0e^(iomegat)$, ma non sono ancora le GENERALI]
Cosa intendo quindi per soluzione
generale complessa? Una soluzione, di nuovo: complessa, che dovendo risolvere una eq. diff. di II ordine avrà due parametri liberi. Fine, solo quello. Esattamente come la soluzione reale, ma complessa. Euristicamente mi attendo quindi possa essere una combinazione lineare delle x1 e x2 complesse sopra citate, proprio come per il caso reale. Non capisco perché questo non possa funzionare.
Da qui la domanda:
Domanda: se io predo la soluzione $x_1(t)=x_0e^(-iomegat)$ dato che posso riscriverla come $x_0'e^(-ialpha)*e^(-iomegat)=x_0'e^(-i(omegat+alpha))$ secondo il Prof avendo due parametri liberi è già una soluzione generale, quindi essa contiene già tutta l'informazione contenuta anche in $x_2(t)=x_1e^(iomegat)$ e questo mi stupisce perché avendo due soluzioni (come nel caso reale) mi attendevo che anche qui per avere la soluzione GENERALE complessa andassero combinate tra loro. E invece no, magia, non c'è bisogno: la soluzione complessa $x_1(t)$ contiene già anche il caso $x_2(t)$. Per contiene intendo dire che rimaneggiando $x_1(t) in CC$ posso trovare $x_2(t) in CC$.
Io rimango nel complesso, non so parlando di riportarmi nel caso di soluzione reale. Quello è più che chiaro.
Ti ringrazio