Equazione differenziale oscillatore armonico

[l'oscilloscopio]

Ciao, avrei alcuni dubbi sulle soluzioni della equazione edo: $(d^2x)/(dt^2)+omega^2x=0$

In due corsi distinti ho trovato questi metodi risolutivi e non riesco a capire perché di fatto portino allo stesso risultato, in sostanza non riesco a entrare in profondità del ragionamento. Mi spiego:

1) si mostra che le soluzioni sono del tipo $e^(iomegat)$ ed $e^-(iomegat)$, quindi dice che la soluzione generale sarà: $x(t)=A_+e^(iomegat)+A_-e^(-iomegat)$ (d), siccome il problema da cui scaturiva era fisico voglio che quella somma $in RR$, allora questo è vero sse $A_(-) =-A_+^+$ (g) (^+ intendo notazionalmente il complesso coniugato)

Da questi pongo: $A_+=A_0e^(iphi)$ e ottengo $A_(-)=A_+^+=A_0e^(-iphi)$ quindi:

$A_+e^(iomegat)+A-e^(-iomegat)=A_0(e^(i(omegat+phi))+e^(-i(omegat+phi)))$ da cui non mi dilungo ma chiaramente si ottiene $A_0cos(omegat+phi)$ (ottenere anche il caso seno è facile per semplice fase distinta)

Benissimo.

Io ho sempre visto soluzioni reali per la x(t) anche in analisi (quindi il primo metodo non mi crea dubbio alcuno), però in un altro corso di fisica trovo questa trattazione:

2)
Si vuole risolvere la solita equazione differenziale, la quale ha due soluzioni complesse:
$x(t)=x_0e^(-iomegat)$ (a) e $x(t)=x_1e^(iomegat)$ (b) con $x_0, x_1 in CC$

Ora, $x(t)=x_0e^(-iomegat)$ dice che si scrive ovviamente in modo facile anche come: $x_0'e^(-ialpha)*e^(-iomegat)$ ove $x_0' in RR$ stavolta.

Cio detto: $x(t)=x_0e^(-iomegat)=x_0'e^(-ialpha)*e^(-iomegat)=x_0'e^(-i(omegat+alpha))$

Ora il punto dubbio (primo dubbio) il prof. dice "siccome è di secondo ordine l'eq. diff. ci attendiamo due parametri e quindi va da sé che questa funzione è la famiglia di funzioni soluzione della eq. differenziale".
LE cose che mi mettono dubbi sono che: ma di solito si cerca x(t) reale mentre qui per la prima volta vedo una soluzione complessa, posso soprassedere anche su questo, però non capisco perché partendo solo dalla (a) io ottenga anche la soluzione (b), io sinceramente mi aspettavo che si dovessero sommare proprio come nel caso reale le due soluzioni $Ax_0e^(-iomegat)+Bx_1e^(iomegat)$ cioè una loro combinazione lineare come visto in (d) (cioè nel caso reale faceva una c.l delle due) invece qui con il trick di raccogliere $x_0'$ reale trova già due soluzioni dalla prima delle due (la seconda manco la tocca)? non capisco come faccia solo basandosi sul notare che ho due parametri liberi come l'ordine della edo.

Procedo poi su (secondo dubbio): della $x_0'e^(-i(omegat+alpha))$ dice: "prendiamo parte reale e parte immaginaria e otteniamo le soluzioni reali della edo"

Ora $x_0'e^(-i(omegat+alpha))$ prese le due parti ho:
$x_1(t)=x_0'sin(omegat+alpha)$ e $x_2(t)=x_0'cos(omegat+alpha)$ che effettivamente magicamente coincide proprio con la soluione x(t) realea ottenuta al punto (1), però questo onestamente mi stupisce: mentre si là si otteneva il risultato imponendo la condizione (g) (cioè che la somma fosse reale) qui invece la ottengo come mero artificio di escludere parte reale e/o immaginaria dalla soluzione complessa... non mi sembrano ragionamenti assimilabili e invece funziona, ma perché in effetti torna la stessa cosa? Non mi è chiaro.

Sapreste aiutarmi a capire questi due punti dubbi? Grazie

[pilloeffe]

Ciao l'oscilloscopio,

Benvenuto sul forum!

Per rispondere alle tue domande, credo che potresti trovare interessante questo thread e quelli ad esso collegati che sono riportati nello stesso thread.

[l'oscilloscopio]

Ciao pilloeffe e grazie per il benvenuto.
Ho preso visione dei link e di tutti quelli a matrioska ma ammetto che mi sembra proprio la soluzione al mio punto (1) i miei dubbi sono un poco diversi e si rifanno al punto (2) della mia precedente. Non so se mi sono spiegato male oppure se sembrava una domanda simile perché molti si incastrano in quel punto. Ma in realtà rendere la soluzione reale è proprio quello che ho fatto al punto 1 (ripeto )..
Il mio dubbio è espresso al fine del mio precedente scritto prolisso (invero due domande) se hai modo di rileggerlo sarei molto interessato a una risposta. Se mi sono invece spiegato male provo a riformularla.

Un saluto!

[ingres]

Se ho inteso bene il tuo dubbio, credo che il core della risposta stia nel fatto che se una funzione complessa è soluzione di una equazione lineare a coefficienti reali, allora le sue parti reale ed immaginaria sono separatamente soluzioni (stavolta a valori reali) della stessa equazione.
https://www.science.unitn.it/~fisica1/f ... node3.html

Questo fatto è alla base del cosiddetto "Metodo dei Fasori", molto usato soprattutto per determinare le soluzioni particolari delle equazioni differenziali a coefficienti costanti non omogenee con termini noti sinusoidali.

Nel caso in questione essendo l'equazione del secondo ordine e avendo già trovato 2 soluzioni separate questo è sufficiente per concludere.

[l'oscilloscopio]

@ingres: avevo mandato un messaggio ma temo che sia rimasto incastrato nel momento della moderazione o per qualche disguido tecnico non sia rimasto. Tuttavia ci terrei a risponderti e quindi ci riprovo, dato che ci tengo a capire il problema...

Se ho ben capito dalla tua speigazione è prprio per la linearità dell'operazione di derivazione sul numero complesso che si spezza facilmente in due parti come derivata di reale + derivata di parte complessa che fnziona.




Questo in effetti risolve il dubbio 2 ma mi permane il dubbio 1:

Si vuole risolvere la solita equazione differenziale, la quale ha due soluzioni complesse:
$x(t)=x_0e^(-iomegat)$ (a) e $x(t)=x_1e^(iomegat)$ (b) con $x_0, x_1 in CC$

Ora, $x(t)=x_0e^(-iomegat)$ dice che si scrive ovviamente in modo facile anche come: $x_0'e^(-ialpha)*e^(-iomegat)$ ove $x_0' in RR$ stavolta.

Cio detto: $x(t)=x_0e^(-iomegat)=x_0'e^(-ialpha)*e^(-iomegat)=x_0'e^(-i(omegat+alpha))$

Ora il punto dubbio (primo dubbio) il prof. dice "siccome è di secondo ordine l'eq. diff. ci attendiamo due parametri e quindi va da sé che questa funzione è la famiglia di funzioni soluzione della eq. differenziale".
LE cose che mi mettono dubbi sono che: ma di solito si cerca x(t) reale mentre qui per la prima volta vedo una soluzione complessa, posso soprassedere anche su questo, però non capisco perché partendo solo dalla (a) io ottenga anche la soluzione (b), io sinceramente mi aspettavo che si dovessero sommare proprio come nel caso reale le due soluzioni $Ax_0e^(-iomegat)+Bx_1e^(iomegat)$ cioè una loro combinazione lineare come visto in (d) (cioè nel caso reale faceva una c.l delle due) invece qui con il trick di raccogliere $x_0'$ reale trova già due soluzioni dalla prima delle due (la seconda manco la tocca)? non capisco come faccia solo basandosi sul notare che ho due parametri liberi come l'ordine della edo.

Cio che non ho ben capito è quanto segue:
Noi troviamo due soluzioni complesse: $x(t)=x_0e^(-iomegat)$ (a) e $x(t)=x_1e^(iomegat)$ (b) con $x_0, x_1 in CC$
Fatto questo il professore procede solo sulla a) e dice: $x(t)=x_0e^(-iomegat)$, dato che $x_0$ è complesso posso scriverlo come $x_0'*e^(−iα)$ nulla di fantasmagorico.

Quindi: $x(t)=x_0e^(-iomegat)=x_0'e^(-ialpha)*e^(-iomegat)=x_0'e^(-i(omegat+alpha))$

E come dicevo qui il dubbio: io mi aspettavo di dover sommare (cioè fae una C.L di) (a) e (b): $Ax_0e^(-iomegat)+Bx_1e^(iomegat)$, invece il prof dice: noi abbiamo per soluzione $x_0'e^(-i(omegat+alpha))$ e "siccome è di secondo ordine l'eq. diff. ci attendiamo due parametri liberi e quindi va da sé che questa funzione è la famiglia di funzioni soluzione della eq. differenziale"

IN pratica solo da (a) ottiene anche la soluzione (b). MA perché non mi è chiaro.

mentre come scrivi tu, avendo soluzione (a) e (b) so che sarebbero soluzioni se sommate obv:

Nel caso in questione essendo l'equazione del secondo ordine e avendo già trovato 2 soluzioni separate questo è sufficiente per concludere.

a me stupisce invece che il prof trovi le due soluzioni solo elaborando (a) e non fregandosene nulla di (b). Non riesco a capire.

[dissonance]

@ingres: avevo mandato un messaggio ma temo che sia rimasto incastrato nel momento della moderazione o per qualche disguido tecnico non sia rimasto. Tuttavia ci terrei a risponderti e quindi ci riprovo, dato che ci tengo a capire il problema...

Nella coda di moderazione non c'è nessun tuo messaggio. Mi dispiace, lo so che è molto frustrante perdere lavoro così, mi è successo varie volte. Prossima volta scrivi il messaggio su un editor di testo e poi fai copia-incolla qui. Questo vale anche se devi riempire moduli su altri siti (domande di lavoro, borse di studio, etc...). Un piccolo life hack

[l'oscilloscopio]

@dissonance:

Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.

sì, hai ragionissima. Infatti ora non uso un notepad prima di salvare su siti! La precedente l'ho scritta così. Ti ringrazio per il consiglio

[ingres]

@l'oscilloscopio
Non so dirti onestamente il ragionamento che può aver fatto il tuo professore, ma credo che l'idea di fondo è che come detto parta dal fatto che le due soluzioni di parte reale e immaginaria sono due funzioni separate ovvero nel caso specifico (suppongo per semplicità $alpha = 0$ tanto nulla toglie dal punto di vista generale perchè è sempre ottenibile con un'opportuna traslazione nel tempo):

$e^(i*omega*t)=cos(omega t) + i sin(omega t)$

e ne prendo le parti reali e immaginarie ottengo $cos(omega t), sin(omega t)$ che sono effetttivamente 2 soluzioni indipendenti dell'equazione differenziale (il loro wronskiano non è nullo).

In quest'ottica considerare anche $e^(-i*omega*t)=cos(omega t) - i sin(omega t)$ non avrebbe aggiunto nulla perchè avrei ottenuto le stesse 2 funzioni (per l'arbitrarietà delle costanti che abbia $sin(omega t)$ oppure $- sin(omega t)$ è indifferente)

Non so se questa spiegazione, un pò semplicistica, sia soddisfacente.

[l'oscilloscopio]

Ciao ingres, grazie per aver ascoltato il mio grido di aiuto

Allora, ho seguito il tuo ragionamento e mi torna, nel senso che tu dici che essendo parte reale e immaginaria due funzioni reali di variabile reale e linearmente indipendenti sono possibili soluzioni REALI dell'equazione.
Questo è vero, sono d'accordissimo e l'avevo già dedotto dalla tua prima risposta, però per soluzioni reali.

Mentre a me pareva che il prof dicesse che date:
$x(t)=x_0e^(-iomegat)$ (a) e $x(t)=x_1e^(iomegat)$ (b) con $x_0, x_1 in CC$ soluzioni complesse.

Io prendo a e scrivo (dopo i rimaneggiamenti di cui sopra): $x(t)=x_0e^(-iomegat)=x_0'e^(-ialpha)*e^(-iomegat)=x_0'e^(-i(omegat+alpha))$
e questa è la soluzione generale del caso complesso.
Cioè a me pare che il prof asserisca che questa soluzione in quanto ha due parametri liberi è soluzione della complessa in toto (cioè è per lui la sol. generale della eq. diff. complessa), non reale. E' questo che non mi convince, perché io invece dico: secondo me la soluzione generale della complessa è combinazione linare di (a) e (b). Non so se mi spiego. Sbaglio? Tu che ne pensi?

[pilloeffe]

e questa è la soluzione generale del caso complesso.
Cioè a me pare che il prof asserisca che questa soluzione in quanto ha due parametri liberi è soluzione della complessa in toto (cioè è per lui la sol. generale della eq. diff. complessa), non reale. E' questo che non mi convince, perché io invece dico: secondo me la soluzione generale della complessa è combinazione linare di (a) e (b).

Non capisco perché parli di equazione differenziale complessa: la edo iniziale è reale ed è associata ad un problema fisico, sicché ci si aspetta che le soluzioni siano reali, non complesse. Il modo per rendere la soluzione reale a partire da una combinazione lineare con coefficienti complessi delle soluzioni complesse è quello mostrato in questo thread. D'altronde, se prendi la soluzione complessa che hai chiamato con (a) e la metti dentro l'equazione differenziale iniziale (cioè la derivi due volte e poi ci sommi $\omega^2 x$) ti accorgerai facilmente che la risolve; accade lo stesso anche se prendi la soluzione complessa che hai chiamato con (b). Quindi ognuna delle due soluzioni (a) e (b) presa singolarmente è soluzione della edo iniziale, ma sono soluzioni che non ci vanno bene perché sono complesse e non reali. Un modo per rendere reale una soluzione complessa, che è ciò che si vuole, è prendere una delle due soluzioni (a) o (b) e scrivere la costante moltiplicativa complessa come prodotto di una costante moltiplicativa reale e di $e^{i\alpha} $ (oppure di $e^{- i\alpha} $) e poi prendere la parte reale o la parte immaginaria di tale soluzione, che come ti ha già scritto ingres sono entrambe soluzioni reali della edo iniziale.