Equazione differenziale oscillatore armonico

[l'oscilloscopio]

Certo, è tutto giusto quello che dici e quello in realtà mi è ormai chiaro dato il corso della discussione avuta con voi. Mi è chiaro: abbiamo come dici una eq. diff. reale a coefficienti reali la soluzione fisica inoltre è reale.

Io però ponevo la domanda su un altro punto!

E' però comodo lavorare col formalismo complesso, torvarci la soluzione complessa dell'equazione e estrarci a posteriore parte reale (o complessa) che è soluzione (funzione reale) della equazione. Tutto perfetto.

L'unico punto che mi rimane dubbio è questo: nel formalismo complesso della soluzione per la nostra eq. reale cosa troviamo? Beh troviamo due funzioni: $x(t)=x_0e^(-iomegat)$ (a) e $x(t)=x_1e^(iomegat)$ (b) con $x_0, x_1 in CC$ soluzioni complesse.

Fin qui ok no? bene, detto ciò il prof prende la prima delle due funzioni (la "a") e la elabora usando la scrittura esponenziale del complesso: $x(t)=x_0e^(-iomegat)=x_0'e^(-ialpha)*e^(-iomegat)=x_0'e^(-i(omegat+alpha))$ benissimo.

Ora il dubbio: (cit prof.) "siccome è di secondo ordine l'eq. diff. ci attendiamo due parametri liberi e quindi va da sé che questa funzione è la famiglia di funzioni soluzione della eq. differenziale" proprio in virtù di avere due parametri $alpha$ e $x'_0$ liberi.
CIoè sta dicendo che la soluzione complessa $x_0'e^(-i(omegat+alpha))$ è soluzione generale (complessa non ancora reale) della equazione differenziale. E a me par strano perché come soluzione COMPLESSA mi aspetterei una cobinazione lineare sia di (a) che di (b), cioè di entrambe le soluzioni. Ma noi siamo pervenuti ad $x_0'e^(-i(omegat+alpha))$ solamente sfruttando (a) non curandoci di (b). Come fa quindi (a) a comprendere anche la soluzione (ripeto complessa) (b)?

[pilloeffe]

CIoè sta dicendo che la soluzione complessa $x_0' e^{- i(\omega t + \alpha)} $ è soluzione generale (complessa non ancora reale) della equazione differenziale. E a me par strano [...]

Perché ti pare strano? Sta dicendo il giusto: se chiamiamo con (c) la soluzione complessa $x(t) = x_0' e^{- i(\omega t + \alpha)} $ in effetti questa è soluzione della ODE iniziale: per convincertene, basta che la derivi un paio di volte rispetto a $t$ e ci sommi $\omega^2 x $. Allo stesso modo è soluzione complessa (d) anche $x(t) = x_0' e^{i(\omega t + \alpha)} $, esattamente come lo sono indipendentemente l'una dall'altra le due soluzioni (a) e (b). Comunque volendo potresti ottenere la soluzione reale anche con la combinazione lineare che hai pensato tu ponendo $x_0' := A/2 $:

$ x_0' e^{i(\omega t + \alpha)} + x_0' e^{- i(\omega t + \alpha)} = A \frac{e^{i(\omega t + \alpha)} + e^{- i(\omega t + \alpha)}}{2} = A cos(\omega t + \alpha) $

[l'oscilloscopio]

Perché ti pare strano? Sta dicendo il giusto: se chiamiamo con (c) la soluzione complessa $x(t) = x_0' e^{- i(\omega t + \alpha)} $ in effetti questa è soluzione della ODE iniziale: per convincertene

No, ma non devo convincermene perché questo già mi è chiaro! E' una soluzione.
L'altra complessa come dici tu è (d) anche $x(t) = x_0' e^{i(\omega t + \alpha)} $.

Io però dico che presa solo (c) non ho la soluzione generale complessa, perché la generale non dovrebbe essere la combinazione lineare di f(c)+g(d), con f e g parametri della combinazione lineare?

Insomma, se io prendo solo (c) come soluzione non dovrei riuscire a tirare fuori la soluzione (d) da essa, questo dico perché sono linearmente indipendenti.

Facendo un semplice parallelismo è come per la soluzione reale (per quello parlavo di soluzione reale, ma solo per fare un parallelo a un fatto noto, il seguente: ) io ho una soluzione (a) $cosomegat$ e una (b) $sinomegat$, la soluzione generale non è SOLO (a) ma la combinazione lineare delle due f'(a)+g'(b).

Il prof invece sembra dire, avendo la soluzione (c) la soluzione complessa $x(t) = x_0' e^{- i(\omega t + \alpha)} $ ha al sui interno due parametri liberi ($x_0'$ e $alpha$) e quindi proprio per questi due gradi di libertà dei parametri è la soluzione generale.
mentre io dico no! per essere generale devo fare f(c)+g(d)

[pilloeffe]

ho una soluzione (a) $cos\omega t $ e una (b) $sin\omega t $, la soluzione generale non è SOLO (a) ma la combinazione lineare delle due f'(a)+g'(b).

Non necessariamente: anche in questo caso la soluzione generale si può scrivere come $A cos(\omega t + \alpha) $
(usando solo la soluzione (a)) che infatti è possibile ottenere dalla combinazione lineare delle due soluzioni che hai scritto:

$x(t) = k_1 cos\omega t + k_2 sin\omega t $

Ponendo $k_1 := Acos\alpha $ e $k_2 := - Asin\alpha $ e ricordando che $cos(\alpha + \beta) = cos\alpha cos\beta - sin\alpha sin\beta $, si ottiene:

$x(t) = A cos\alpha cos\omega t - A sin\alpha sin \omega t = A cos(\omega t + \alpha) $

nella quale compaiono come costanti $A$ e $\alpha $ invece di $k_1 $ e $k_2 $ (le costanti devono comunque essere due). Naturalmente si può fare un ragionamento analogo usando solo la soluzione (b).

[l'oscilloscopio]

[EDIT] correzione typo

Ok siamo arrivati finalmente al nocciolo della questione, perdonami se finora non ti avevo fatto ben capire il dubbio.

Credo di non convenire su questo:

anche in questo caso la soluzione generale si può scrivere come $A cos(\omega t + \alpha) $
(usando solo la soluzione (a)) (che ricordo essere $sinomegat$)

Usando solamente $sinomegat$ non posso ottenere quella cosa, per farlo devo deliberatamente aggiungere "alpha" e "A" a mano. Non mi pare proprio di ottenere quel risultato partendo solo da (a).
Ovviamente posso invece ottenerlo come hai fatto tu combinando (a) e (b) soluzioni, e ponendo le sostituzioni da te imposte MA io appunto userei sia (a) che (b) per farlo.

Mentre quando scriviamo: $x(t)=x_0e^(-iomegat)=x_0'e^(-ialpha)*e^(-iomegat)=x_0'e^(-i(omegat+alpha))$ questa scrittura io la ottengo SOLO rimaneggiano (c') $x(t)=x_0e^(-iomegat)$ (esprimendo in forma esponenziale il complesso x0 al suo interno) e non sfrutto in alcun modo (d') $x(t)=x_1e^(iomegat)$.
Cioè sarebbe come ottenere d' solo da c'. strana come cosa.


Mi sembra ci sia una bella differenza

[pilloeffe]

Mi sembra ci sia una bella differenza

No, non c'è alcuna differenza: anche nella soluzione complessa abbiamo sostituito la costante complessa aggiunta a mano $x_0 \in \CC$ introducendo le due costanti $\alpha \in \RR$ e $x_0' \in \RR $ e questo lo si può fare a partire da una qualsiasi delle soluzioni complesse della EDO. Prendendo poi la parte reale o la parte immaginaria di una qualsiasi soluzione complessa si ottiene la soluzione generale reale dell'EDO proposta.

[l'oscilloscopio]

Prendendo poi la parte reale o la parte immaginaria di una qualsiasi soluzione complessa si ottiene la soluzione generale reale dell'EDO proposta.

Ripeto, a scanso di equivoci, che questo mi è chiaro e non verte più su questo il dubbio, già risolto da ingres col suo link, il mio problema è solo su quella aggiunta dei parametri che non vedevo nel caso complesso.

No, non c'è alcuna differenza: anche nella soluzione complessa abbiamo sostituito la costante complessa aggiunta a mano $x_0 \in \CC$ introducendo le due costanti $\alpha \in \RR$ e $x_0' \in \RR $ e questo lo si può fare a partire da una qualsiasi delle soluzioni complesse della EDO.

Non credo di aver capito perché dici che nel caso complesso venga a aggiunto a mano, mi spiego:

Nel caso reale una delle due soluzioni è: $Asinomegat$ da questa non si riesce a far uscire anche la seconda soluzione $Bcosomegat$ agendo su quella funzione sfruttando A.
Insomma: $Asinomegat$ non è la soluzione generale di per sé perché non contiene il caso $Bcosomegat$.
L'unico modo per ottenere il caso del coseno è aggiungere io di mia voltontà uno sfasameto arbitrario: $Asin(omegat+alpha')$

Nella soluzione complessa $x(t)=x_0e^(-iomegat)$ io scrivo $x_0=x_0'e^(-ialpha)$ e vedi che qui il parametro alpha è gia presente non lo aggiungo mica io, io ho solamente riscritto un numero complesso come notazione esponenziale. A questo punto $x(t)=x_0'e^(-i(omegat+alpha))$ (facendo un parallelismo siamo nel caso $Asinomegat$) perché allora questo $x_0'e^(-i(omegat+alpha))$ contiene anche l'altra soluzione: $x(t)=x_1e^(iomegat)$? (facendo un parallelismo a puro scopo di spiegazione, ripeto, $x_1=Asinomegat$ non continene $x_2Bcosomegat$ MA $x_1(t)=x_0e^(-iomegat)$ contiente come mostrato $x_2(t)=x_1e^(iomegat)$)

[pilloeffe]

MA $x_1(t)=x_0 e^{- i\omega t}$ contiente come mostrato $x_2(t)=x_1 e^{i\omega t} $

Non è che "contiene", sono due soluzioni generali aventi pari dignità: è il vantaggio di operare con le soluzioni complesse...

Io però dico che presa solo (c) non ho la soluzione generale complessa, perché la generale non dovrebbe essere la combinazione lineare di f(c)+g(d), con f e g parametri della combinazione lineare?

A parte che mi dovresti spiegare cosa intendi per soluzione generale complessa di un'equazione differenziale reale proveniente da un problema fisico reale, dalla quale ci aspettiamo una soluzione generale reale, la risposta è no, e te lo dimostro:

$x_1(t) = x_0 e^{i \omega t} = x_0' e^{i (\omega t +\alpha)} = x_0'[cos(\omega t + alpha) + i sin(\omega t + \alpha)]$

$x_2(t) = x_1 e^{- i \omega t} = x_1' e^{- i (\omega t +\alpha)} = x_1'[cos (\omega t + alpha) - i sin(\omega t + \alpha)]$

Vediamo cosa succede se ne facciamo la somma ottenendo quella che tu chiami "soluzione generale complessa" $x_{g}(t)$:

$x_{g}(t) = x_1 (t) + x_2 (t) = (x_0' + x_1') cos(\omega t + alpha) + i(x_0' - x_1') sin(\omega t + \alpha) $

Che cosa contiene questa "soluzione generale complessa" che non sia già contenuto in ognuna delle due soluzioni $x_1(t) $ e $x_2(t) $ singolarmente prese? Nulla. Se poi si assume $ x_0' = x_1' = A/2 $ ritroviamo una nostra vecchia conoscenza:

$ x_{g}(t) = A cos(\omega t + alpha) $

[Noodles]

$x(t)=x_0'e^(-i(omegat+alpha))$

... il prof. dice "siccome è di secondo ordine l'eq. diff. ci attendiamo due parametri e quindi va da sé che questa funzione è la famiglia di funzioni soluzione della eq. differenziale".

Se hai riportato fedelmente quello che ha detto il docente, l'affermazione non ha senso. Del resto, la famiglia di soluzioni complesse:

$x(t)=x_0'e^(-i(omegat+alpha))$

non può essere, nel senso letterale, la famiglia di soluzioni reali solo perchè entrambe dipendono da due costanti arbitrarie reali. Anche se il docente intendeva riferirsi alla parte reale e alla parte immaginaria separatamente, avrebbe dovuto argomentare diversamente. Tra l'altro, non è nemmeno necessario. Infatti, volendo rispettare quelle che sembrano le tue esigenze, basta la condizione sottostante:

$c_2=bar(c_1)$

che riduce le quattro costanti arbitrarie reali a due, per estrarre, dall'integrale generale complesso:

$x(t)=c_1*e^(-i\omegat)+c_2*e^(i\omegat)$

l'integrale generale reale:

$x(t)=2*Re(c_1)*cos\omegat+2*Im(c_1)*sin\omegat$

In questo modo, per ricavare l'integrale generale reale, devi comunque combinare linearmente i due integrali particolari complessi:

$[x_1(t)=e^(-i\omegat)] ^^ [x_2(t)=e^(i\omegat)]$

a patto che:

$c_2=bar(c_1)$

[l'oscilloscopio]

@pilloeffe: per soluzione generale complessa intendevo la funzione phi che renda vera l'uguaglianza https://www.science.unitn.it/~fisica1/f ... node3.html cioè la soluzione che "racchiude" tutte le funzioni con parametri (due) che risolvono quell'equazione.

Insomma al pari della soluzione reale generale che è: $Asin(omegat+alpha')$ data dalla somma/combinazione lineare di $x_1(t)=Asinomegat$ e $x_2(t)=Bcosomegat$

Vediamo cosa succede se ne facciamo la somma ottenendo quella che tu chiami "soluzione generale complessa" $x_{g}(t)$:

$x_{g}(t) = x_1 (t) + x_2 (t) = (x_0' + x_1') cos(\omega t + alpha) + i(x_0' - x_1') sin(\omega t + \alpha) $

Che cosa contiene questa "soluzione generale complessa" che non sia già contenuto in ognuna delle due soluzioni $x_1(t) $ e $x_2(t) $ singolarmente prese? Nulla.

Sì esatto ma quello mi stupisce infatti, perché non comprendo il motivo per cui nel caso reale devo combinare le due soluzioni $x_1(t)=Asinomegat$ e $x_2(t)=Bcosomegat$ per avere la "generale", mentre per la funzione soluzione complessa $x_1(t)=x_0e^(-iomegat)$ non ho bisogno di combinarla con: $x_2(t)=x_1e^(iomegat)$, da $x_1(t)=x_0e^(-iomegat)$ ho la stessa informazione di $x_2(t)=x_1e^(iomegat)$ come dici tu.
Ma da $x_1(t)=Asinomegat$ non avrei mai la stessa informazione fornita da: $x_2(t)=Bcosomegat$ (essendo funzioni linearmente indipendenti tra loro, dovrei combinarle con due parametri liberi per avere tutte/generali le soluzioni).

@noodles:

Anche se il docente intendeva riferirsi alla parte reale e alla parte immaginaria separatamente, avrebbe dovuto argomentare diversamente.

Non ho capito benissimo questa parte, nel senso che nel caso reale prendendo separatamente parte reale e immaginaria ho già le due soluzioni linearmente indipendenti del caso reale no? ottengo infattila parte in cos e in sin.

Tra l'altro, non è nemmeno necessario. Infatti, volendo rispettare quelle che sembrano le tue esigenze, basta la condizione sottostante:

credo inoltre di non aver colto bene cosa volessi dirmi con questo.