Equazione differenziale oscillatore armonico

[l'oscilloscopio]

Sì, è esatto, anche li mi sembrava mi dessi ragione ma non ero certo di aver capito. Mentre ora mi pare chiaro che sia così. Rimane comunque in me il dubbio di non aver capito (come scritto nel precedente) pilloeffe, dato che anche tu condividi (sempre se non ti ho mal interpretato).

[Quinzio]

Il problema è un altro.
Io parlo puramente della soluzione generale complessa, il fatto è che non capisco perché dici che non ho spiegato cosa sia, mi sembra talmente evidente che capisco che a questo punto il problema sia lì... devo compiere qualche errore scemo che non vedo.

Vediamo se quindi riesco a chiarire cosa intendo per "generale complessa":
Io ho l'equazione $(d^2x)/(dt^2)+omega^2x=0$, posso supporre esista una funzione complessa $x(t)$ che risolva quella equazione? Secondo me sì, basta che sia una funzione di codominio complesso che ivi sostituita mi darà zero, questa è una soluzione complessa.
[volendo specializzare al nostro esempio UNA soluzione complessa può essere: $x_1(t)=x_0e^(-iomegat)$ così come un'ALTRA può essere: $x_1(t)=x_0e^(iomegat)$, ma non sono ancora le GENERALI]

Cosa intendo quindi per soluzione generale complessa? Una soluzione, di nuovo: complessa, che dovendo risolvere una eq. diff. di II ordine avrà due parametri liberi. Fine, solo quello. Esattamente come la soluzione reale, ma complessa. Euristicamente mi attendo quindi possa essere una combinazione lineare delle x1 e x2 complesse sopra citate, proprio come per il caso reale. Non capisco perché questo non possa funzionare.

Da qui la domanda:

Domanda: se io predo la soluzione $x_1(t)=x_0e^(-iomegat)$ dato che posso riscriverla come $x_0'e^(-ialpha)*e^(-iomegat)=x_0'e^(-i(omegat+alpha))$ secondo il Prof avendo due parametri liberi è già una soluzione generale, quindi essa contiene già tutta l'informazione contenuta anche in $x_2(t)=x_1e^(iomegat)$ e questo mi stupisce perché avendo due soluzioni (come nel caso reale) mi attendevo che anche qui per avere la soluzione GENERALE complessa andassero combinate tra loro. E invece no, magia, non c'è bisogno: la soluzione complessa $x_1(t)$ contiene già anche il caso $x_2(t)$. Per contiene intendo dire che rimaneggiando $x_1(t) in CC$ posso trovare $x_2(t) in CC$.

Io rimango nel complesso, non so parlando di riportarmi nel caso di soluzione reale. Quello è più che chiaro.

Vedo un po' di confusione:
a)
l'equazione differenziale $(d^2x)/(dt^2)+omega^2x=0$
con $x(t), t, \omega \in RR$
ha una soluzione con due parametri liberi reali .
La soluzione e' $x(t) = A e^(i\omega t) +A^\star e^(-i\omega t)$
I due parametri liberi sono $a$ e $b$ di $A = a+ib \in CC$

b)
l'equazione differenziale $(d^2x)/(dt^2)+omega^2x=0$
con $x(t), t, \omega \in CC$
ha sempre una soluzione con due parametri liberi complessi.
La soluzione e' $x(t) = A e^(i\omega t) +B e^(-i\omega t)$
I due parametri liberi sono $A, B \in CC$.
Siccome un numero complesso puo' essere pensato come avente due parametri reali, possiamo dire che la soluzione ha due parametri liberi complessi oppure 4 parametri liberi reali. E' questione di gusti.



La soluzione $x_0'e^(-i(omegat+alpha))$ non e' generica ne' nel campo complesso, ne' nel campo reale (non vi appartiene addirittura).
Per vedere che $x_0'e^(-i(omegat+alpha))$ NON E' una soluzione generica, si provi a impostare $x_0$ e $\alpha$ in modo da fare $x_0'e^(-i(omegat+alpha)) = e^(i omega t)$. Non ci si riesce.
Viceversa con la soluzione che ho scritto prima, basta mettere $A = 1$ e $B = 0$. Semplicissimo.

Il Prof. dice che $x_0'e^(-i(omegat+alpha))$ e' gia una soluzione generica perche' lui ha gia' in mente di passare al campo reale, siccome l'oscillatore fisico prende valori solo nel campo reale, e lo fara' con l'operazione
$"Re" {x_0'e^(-i(omegat+alpha))}$.
Non lo dice esplicitamente, ma ce l'ha in testa e lo da per scontato. Ecco da dove nasce la confusione.
Quindi, siccome nel campo reale gli sono sufficienti due parametri liberi, puo' usare quella soluzione come soluzione generale.Si tratta solo di fare qualche passaggio algebrico per andare da una forma all'altra, ma nella sostanza sono la stessa cosa.

[pilloeffe]

coadiuvato dalla frase del prof che diceva che c'erano due parametri liberi in $x_1(t)=c_1⋅e^{- i\omega t} $ riscritta come $x_1(t) = b⋅e^{- i(\omega t + \alpha)}$, $b \in \RR $ e che quindi era soluzione generale

Dai, non ci credo (oddio, tutto può essere, la mano sul fuoco non ce la metto... ), avrà detto (mi auguro) che da quella si può ottenere la soluzione generale reale dell'EDO proposta, il che è vero!

1) mi pare non fosse d'accordo che la sol. generale complessa fosse somma delle due x1 e x2 (proprio come nel caso reale)
2) non condividesse il concetto di soluzione/integrale generale complesso.

Non è che non sono d'accordo sulla soluzione generale complessa, ma guarda cosa

integrale generale complesso:

$[c_1 in CC] ^^ [c_2 in CC] $

$x(t)=c_1*e^(-i\omega t)+c_2*e^(i\omega t) $

mediante il quale risolvere il problema di Cauchy nel caso in cui la funzione di variabile reale sia a valori complessi:

$[\alpha in CC] ^^ [\beta in CC] $

$[x(t_0)=\alpha] ^^ [\dot x(t_0)=\beta] $

Stai cercando questo? Tu hai qualcosa tipo $\alpha \in \CC $ o $\beta \in \CC$? Non mi pare. Stai cercando la soluzione generale reale $x(t) $ dell'EDO reale iniziale. Oppure ho capito male? La puoi ottenere dalla soluzione generale complessa? Ovviamente sì, ma è necessario imporre delle condizioni sulle costanti complesse, come ti abbiamo già fatto vedere. Questo c'era scritto chiaramente anche qui, uno dei thread dei link che ti ho postato inizialmente. In pratica per ottenere la soluzione generale reale a partire dalla soluzione generale complessa (ricorda che ogni numero complesso $z=x+iy=A(cos\alpha+isin\alpha)=Ae^{i\alpha}$ è già di per sè caratterizzato dai due numeri reali $x$ e $y$ o $A$ e $\alpha$, quindi da $ x_1 + x_2 $ se ne otterrebbero 4...) è necessario ridurre fino a due i parametri reali, altrimenti non ce la facciamo ad ottenere la soluzione generale reale. Siccome due parametri reali sono già presenti in ognuna delle due soluzioni complesse $x_1(t) $ e $x_2(t) $ anche da ognuna di queste possiamo ricavare la soluzione generale reale dell'EDO reale proposta. Capisco anche che la cosa possa sorprendere, ma è così...

[Quinzio]

Ripeto in forma ancora piu' schematica perche' mi sembra che la confusione aumenti invece che dissiparsi.
L'equazione differenziale a) (vedi sotto) a valori reali, puo' essere risolta considerando la stessa equazione nel campo dei complessi b), prendendo la soluzione complessa e facendo questa operazione:
$"Re" {x(t)}$.
Questa operazione e' FONDAMENTALE, e purtroppo viene data per scontata, e se non se ne tiene conto, non ci si capisce nulla.
Siccome nel campo reale bastano 2 parametri reali liberi, la soluzione complessa $x(t)$ puo' essere anche ricavata da $x(t) = A e^(i\omega t)$.
Non c'e' bisogno della soluzione completa $x(t) = A e^(i\omega t) + B e^(-i\omega t)$, perche' servono solo 2 parametri reali liberi, quindi un numero complesso che ha 2 parametri reali liberi e' gia' sufficiente.

Ripeto: questa operazione ($"Re" {x(t)}$) e' fondamentale e bisogna sempre averla chiara, altrimenti non ci si capisce nulla e la confusione regna sovrana.


a)
l'equazione differenziale $(d^2x)/(dt^2)+omega^2x=0$
con $x(t), t, \omega \in RR$
ha una soluzione con due parametri liberi reali .
La soluzione e' $x(t) = A e^(i\omega t) +A^\star e^(-i\omega t)$
I due parametri liberi sono $a$ e $b$ di $A = a+ib \in CC$

b)
l'equazione differenziale $(d^2x)/(dt^2)+omega^2x=0$
con $x(t), t, \omega \in CC$
ha sempre una soluzione con due parametri liberi complessi.
La soluzione e' $x(t) = A e^(i\omega t) +B e^(-i\omega t)$
I due parametri liberi sono $A, B \in CC$.
Siccome un numero complesso puo' essere pensato come avente due parametri reali, possiamo dire che la soluzione ha due parametri liberi complessi oppure 4 parametri liberi reali. E' questione di gusti.

[Quinzio]

Mi correggo, $\omega^2 \in RR >0 $ sempre, prima ho scritto che puo' appartenere ai complessi.

[l'oscilloscopio]

Ringrazio tutti e direi che ora ci siamo, leggendo la risposta di quinzio (la prima di questa pagina in ordine cronologico) ha afferrato il mio dubbio che era nel punto b)

Per vedere che $x_0'e^(-i(omegat+alpha))$ NON E' una soluzione generica, si provi a impostare $x_0$ e $\alpha$ in modo da fare $x_0'e^(-i(omegat+alpha)) = e^(i omega t)$. Non ci si riesce.

Invece secondo me pilloeffe, data la sua esperienza sui dubbi altrui, sicuramente ha pensato mi arenassi al passaggio di prendere la parte reale o immaginaria di quella espressione soluzione x1 o x2. Ma in realtà paradossalmente quella mi era chiara.

Tutto il dubbio nasceva su una mal interpretazione, come dite voi, dell'idea del prof. secondo me lui parlava già della soluzione reale (con due parametri liberi) mentre io avevo mal interpretato e non capivo e dicevo ma nel caso complesso non ne bastano due, servono 4 inoltre come nel mio quote da x1 in C non trovo l'altra soluzione x2 sempre in C.

Insomma il malinteso era quello, una sciocchezza ma che non portava proprio a comprensione.

Che poi, invece, per tornare alle soluzioni reali basti solo la $x_1 in CC$ è per il motivo che diceva ingres, credo:
se prendo parte reale e immaginaria della $e^(-i*omega*t)=cos(omega t) - i sin(omega t)$ mi dà seno e coseno e sono già le due soluzioni cercate perché sono linearmente indipendenti e sarebbero sempre gli stesi seni e coseni che troverei prendendo parte reale e immaginaria dell'altra soluzione x2 $e^(i*omega*t)$. Quindi perché fare doppia fatica, basta $x_1$!

Insomma direi che ora tutto torna.

[zuppettr]

Ciao, mi registro perché con google cercavo una soluzione al mio dubbio e sono incappato su questa discussione di questo vs forum. Ho provato in realtà a scrivere in fisica ma non ho ricevuto risposte e permanendo il mio dubbio ho pensato che forse sarebbe meglio continuare qui essendo una domanda per @ingres (o chiunque partecipi)

Volevo aggiungere una domanda a quella già ben spiegata qui, nella separazione di variabili per risolvere l'equazione delle onde (in senso generale e non con fronte d'onda piano) si utilizza proprio la soluzione temporale del tipo complesso da voi scritto.

Faccio un po' di ordine e notazioni: la soluzione generale f(x,y,z,t) dell'equazione delle onde ◻f=0, si ottiene separando le variabili spaziali e temporali: $f=X(x)Y(y)Z(z)xi(t)=psi(vecr)xi(t)$

ora, $xi(t)=A_0e^(+-i(omegat+a))$ (*) da voi già espressa con omega la costante di separazione è la parte temporale.

La parte spaziale imponendo altre 3 costanti di separazione di variabili $alpha, beta, gamma$ ho: $psi=psi_0e^(i(veck*vecr))$

mettendole assieme dovrei secondo il prof ottenere: $f_(alfa,beta,gamma,omega)=f_0e^(i(veck*vecr)-omegat)$

E qui due dubbi:
1) la parte $-omegat$ manca del termine $a$ di fase presente in (*) -cioè il caso più genrrale- perché? non dovrei avere anche quello a exp.
2) la seconda domanda è perché abbia usato il termine "-"(omega*t), in teoria anche la parte con il + era utile.
Come diceva @ingres a livello di soluzione temporale

In quest'ottica considerare anche $e^(-i*omega*t)=cos(omega t) - i sin(omega t)$ non avrebbe aggiunto nulla perchè avrei ottenuto le stesse 2 funzioni (per l'arbitrarietà delle costanti che abbia $sin(omega t)$ oppure $- sin(omega t)$ è indifferente)

non importa se prendo $e^-$ o $e^+$, tuttavia qui la scelta conta perché ho una onda regressiva o progressiva a seconda del segno, quindi mi stupisce: la soluzione per la parte temporale non ci importa se abbiamo un segno + o - tanto è lo stesso risultato abbiamo detto. Però poi conta nella scelta per l'equazione delle onde quindi esprime concetti diversi dopotutto dato che mi porta a regressiva e progressiva.

Come si aggiusta questo fatto? Che quella che è di fatto una stessa soluzione poi porta a due?
grazie