Ciao HowardRoark,
Ti confesso che vedere uno come te, Senior Member del forum con oltre 750 post, postare una foto mi è sembrato un po' brutto...
HowardRoark ha scritto:Nella prima disuguaglianza manca un gradiente a $f(x_0,y_0)(x−x_0,y−y_0)$
Sì, e non è l'unico errore: la prima disuguaglianza in realtà è un'uguaglianza (semplicemente si è aggiunto e poi tolto al numeratore il prodotto scalare $\nabla f(x_0, y_0) \cdot (x - x_0, y - y_0) $), poi misteriosamente dopo il segno $\le $ nell'espressione a numeratore compare dal nulla un modulo che non c'era nei passaggi precedenti.
Direi che la scrittura corretta sia la seguente:
$ |f(x, y) - f(x_0, y_0)| = |f(x, y) - f(x_0, y_0)|/||\langle x - x_0, y - y_0 \rangle|| ||\langle x - x_0, y - y_0 \rangle|| = $
$ = [|f(x, y) - f(x_0,y_0) - \nabla f(x_0,y_0) \cdot (x - x_0,y - y_0) + \nabla f(x_0,y_0) \cdot (x - x_0,y - y_0) |/||\langle x - x_0, y - y_0 \rangle||] \times $
$ \times ||\langle x - x_0,y - y_0 \rangle|| \le $
$\le [|{f(x, y) - f(x_0,y_0) - \nabla f(x_0,y_0) \cdot (x - x_0,y - y_0) + \nabla f(x_0,y_0) ||\langle x - x_0, y - y_0 \rangle||}|/||\langle x - x_0, y - y_0 \rangle||] \times $
$ \times ||\langle x - x_0,y - y_0 \rangle|| \le $
$ \le [|f(x, y) - f(x_0,y_0) - \nabla f(x_0,y_0) \cdot (x - x_0,y - y_0)|/||\langle x - x_0, y - y_0 \rangle|| + |\nabla f(x_0,y_0)|] \times ||\langle x - x_0,y - y_0 \rangle|| $
