Integrale Superficiale

[Biagio2580]

Ciao ragazzi , sto affrontando gli integrali superficiali , e negli esercizi , vedo che la parte più delicata è quella iniziale , ovvero quella di parametrizzare e sistemare il dominio della superficie , insomma , la parte che poi permetterà di impostare l'integrale. Il seguente esercizio dice:
Calcolare il seguente integrale superficiale : \( \int_{\Sigma }^{} (16xy)/(x^2+y^2)\, dS \) , quando la superficie \( \Sigma \) è individuata da: \( \Sigma \)={ \( (x,y,z)\epsilon R^3: z=x^2+y^2, 1\leq z \leq2 \) }.
Lo svolgimento mi dice che la superficie può essere riscritta come :
\( \Sigma = \) { \( (x,y,x^2+y^2):1\leq x^2+y^2\leq 2, x\geq 0,y\geq 0 \) } \( = \) { \( (r,t,r^2): r\epsilon [0,\sqrt{2]}, t\epsilon[0,\pi/2] \) }.
Si tratta ovviamente di una superficie regolare e la normale in ogni punto è data da : \( n=(-2x,-2y,1) \) , per cui \( dS=\sqrt{1+4(x^2+y^2)} \) .
E poi da qui viene fatto l'integrale. Volevo sapere come in questo caso ha cambiato la superficie e il perchè di \( r \) e \( t \) , e come trova gli intervalli . Grazie in Anticipo

[sellacollesella]

Assegnato l'integrale di superficie: \[
I := \iint\limits_{\Sigma} \frac{16\,x\,y}{x^2+y^2}\,\text{d}S
\] dove il sostegno della superficie è: \[
\Sigma := \left\{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 : z = x^2+y^2, \, 1 \le z \le 2\right\}
\] è facile osservare che \(\Sigma\) goda della simmetria \(\mathcal{S}(x,y,z)=(-x,y,z)\) e rispetto a tale simmetria
l'integranda è una funzione dispari, pertanto non può che essere \(I=0\); fine dell'esercizio!

D'altro canto, ignorando tale fatto, trattandosi di un paraboloide sono comode le coordinate cilindriche: \[
\mathbf{r}(u,v) := \left(u\cos(v),\,u\sin(v),\,u^2\right),
\quad \quad \text{con} \; (u,v) \in A := \left[1,\sqrt{2}\right] \times [0,2\pi)
\] dove, di default, \(u \ge 0\) e \(0 \le v < 2\pi\), ma dato che \(z=x^2+y^2\) e \(1 \le z \le 2\) si ottiene...

Ciò fatto, è tutto in discesa, dato che poi non rimane che applicare la rispettiva formula: \[
\begin{aligned}
\iint_{\Sigma} f(x,y,z)\,\text{d}S
& := \iint_A f(\mathbf{r}(u,v))\,||\mathbf{r}_u(u,v) \times \mathbf{r}_v(u,v)||\,\text{d}u\,\text{d}v \\
& = \iint_A \frac{16\,u\cos(v)\,u\sin(v)}{u^2\cos^2(v)+u^2\sin^2(v)}\sqrt{u^2+4u^4}\,\text{d}u\,\text{d}v \\
& = 8\int_1^{\sqrt{2}} u\sqrt{1+4u^2}\,\text{d}u\int_0^{2\pi} \sin(2v)\,\text{d}v \\
& = 8\left[\frac{\left(1+4u^2\right)^{3/2}}{12}\right]_{u=1}^{u=\sqrt{2}}\left[-\frac{\cos(2v)}{2}\right]_{v=0}^{v=2\pi} \\
& = 8 \cdot \frac{27-5\sqrt{5}}{12} \cdot 0 \\
& = 0
\end{aligned}
\] dove, ovviamente, ritroviamo zero, ma con molta più fatica!

Al solito, possiamo anche vedere cosa ne pensa Wolfram Mathematica:

Codice:

SurfaceIntegrate[16 x y/(x^2+y^2), Element[{x,y,z}, ImplicitRegion[{z==x^2+y^2, 1<=z<=2}, {x,y,z}]]]

e dato che otteniamo \(0\), possiamo ritenerci abbastanza tranquilli sul nostro risultato.

[Biagio2580]

Già inizia ad essere più chiaro, però volevo chiederti altre 2 cose: la soluzione mi dice che la superficie (in coordinate presuppongo sferiche a questo punto) è uguale a : \( (r,t,r^2) \) , che è però diverso dalla tua , giusto? Vedo che tu hai scritto \( (u cos(v), u sin(v),u^2) \) che è diversa nel mio caso , perchè? Poi non capisco come trovare l'intervallo \( [0,\sqrt{2]} \) . Inoltre , ultima cosa , l'integrale nel mio caso non fa 0 , ti faccio vedere come viene impostato , che è leggermente diverso dal tuo , poi ometto i passaggi e scrivo il risultato:
$ int_(1)^(sqrt(2) ) r drint_(0)^(pi/2) (16r^2costsint)/r^2 sqrt(1+4r^2) dt $
Il cui risultato finale è: $ 18-10/3sqrt(5) $
Quindi non so se l'unica cosa che cambia è il $ dS $ . Inoltre, per calcolare la normale , quali valori devo prendere?

[pilloeffe]

Ciao Biagio2580,

la soluzione mi dice che la superficie (in coordinate presuppongo sferiche a questo punto)

Non direi, c'è qualcosa che non mi torna, perché secondo me ha parametrizzato come segue:

${(x = r cos t),(y = r sin t),(z = x^2 + y^2 = r^2):} $

Ora, siccome $0 \le z = x^2 + y^2 = r^2 \le 2 \implies 0 \le r \le \sqrt2 $, però allora non mi torna che hai scritto $1 \le z \le 2 $. Poi, dal fatto che $x \ge 0 $ e $y \ge 0 $ (che confermerebbe che $0 \le z \le 2 $) segue $t \in [0, \pi/2] $

[sellacollesella]

Faccio solo notare che in principio richiedono:

Calcolare il seguente integrale superficiale : \( \int_{\Sigma }^{} (16xy)/(x^2+y^2)\, dS \) , quando la superficie \( \Sigma \) è individuata da: \( \Sigma \)={ \( (x,y,z)\epsilon R^3: z=x^2+y^2, 1\leq z \leq2 \) }.

allora ponendo \(x=r\cos(t)\) e \(y=r\sin(t)\), dove sappiamo essere \(r \ge 0\) e \(0 \le t < 2\pi\), dovendo anche essere \(z=x^2+y^2\) si ottiene \(z=r^2\) e dovendo anche essere \(1 \le z \le 2\) si ottiene \(1 \le r \le \sqrt{2}\).

D'altro canto, se poi scrivono:

Lo svolgimento mi dice che la superficie può essere riscritta come :
\( \Sigma = \) { \( (x,y,x^2+y^2):1\leq x^2+y^2\leq 2, x\geq 0,y\geq 0 \) }.

ossia per pura magia impongono anche che \(x \ge 0\) e \(y \ge 0\), ossia \(r\cos(t) \ge 0\) e \(r\sin(t) \ge 0\), allora è altresì evidente che si ottenga l'intervallo \(0 \le t \le \frac{\pi}{2}\) e di conseguenza non risulta più \(I=0\) bensì \(I=18-\frac{10}{3}\sqrt{5}\).

[Biagio2580]

Faccio solo notare che in principio richiedono:

Calcolare il seguente integrale superficiale : \( \int_{\Sigma }^{} (16xy)/(x^2+y^2)\, dS \) , quando la superficie \( \Sigma \) è individuata da: \( \Sigma \)={ \( (x,y,z)\epsilon R^3: z=x^2+y^2, 1\leq z \leq2 \) }.

allora ponendo \(x=r\cos(t)\) e \(y=r\sin(t)\), dove sappiamo essere \(r \ge 0\) e \(0 \le t < 2\pi\), dovendo anche essere \(z=x^2+y^2\) si ottiene \(z=r^2\) e dovendo anche essere \(1 \le z \le 2\) si ottiene \(1 \le r \le \sqrt{2}\).

D'altro canto, se poi scrivono:

Lo svolgimento mi dice che la superficie può essere riscritta come :
\( \Sigma = \) { \( (x,y,x^2+y^2):1\leq x^2+y^2\leq 2, x\geq 0,y\geq 0 \) }.

ossia per pura magia impongano anche che \(x \ge 0\) e \(y \ge 0\), ossia \(r\cos(t) \ge 0\) e \(r\sin(t) \ge 0\), allora è altresì evidente che si ottenga l'intervallo \(0 \le t \le \frac{\pi}{2}\) e di conseguenza non risulta più \(I=0\) bensì \(I=18-\frac{10}{3}\sqrt{5}\).

Errore mio , mi sono dimenticato di scrivere $ R_+^3 $ nell'insieme di definizione della superficie

[sellacollesella]

Errore mio , mi sono dimenticato di scrivere $ R_+^3 $ nell'insieme di definizione della superficie

Nessun problema, capita a tutti di sbagliare. Ora con calma cerca di rimettere insieme tutti i tasselli e prova a risolvere l'esercizio su un foglio da solo, cercando di giustificare ogni passaggio. A quel punto, se c'è qualche passaggio dubbio scrivi qui che qualcuno cercherà di chiarirti un po' le idee. Buono studio.

[pilloeffe]

Errore mio, mi sono dimenticato di scrivere $\RR_{+}^3 $ nell'insieme di definizione della superficie

Sì, ma non è solo quello il problema, c'è proprio un conflitto di consegne: perché se scrivi che $x \ge 0 $ e $y \ge 0 $ e poi $1 \le z = x^2 + y^2 \le 2 $, quest'ultima con $x = y = 0 $ diventerebbe $1 \le 0 \le 2 $, che è falso. Quindi se sei sicuro di $1 \le z \le 2 $, allora sarà $x > 0 $ e $y > 0 $

[Mephlip]

Neanche con $x>0$ e $y>0$ è consistente: $1 \le x^2+y^2 \le 2$ risulta falsa ad esempio per $x=y=1/2$. Brancoliamo nel buio .

@Biagio2580: Questi argomenti appartengono alla stanza di analisi matematica di base: attenzione alla sezione la prossima volta. Per scrivere il simbolo "$\in$" di appartenenza insiemistica puoi usare il seguente codice:

Codice:

\in

[pilloeffe]

Il cui risultato finale è: $18−10/3 \sqrt5 $

Se sei sicuro che questo sia il risultato finale, allora con la parametrizzazione che ho già scritto si ha $ 1 \le z = x^2 + y^2 = r^2 \le 2 \implies 1 \le r \le \sqrt2 $ e da $r cos t > 0 $ e $r sin t > 0 $ segue $t \in (0, \pi/2) $, sicché si ha:

$\int \int_{\Sigma } (16xy)/(x^2+y^2)\text{d}S = 16 \int\int_{1 \le x^2 + y^2 \le 2} (xy)/(x^2 + y^2) \sqrt{1 + 4(x^2 + y^2)} \text{d}x \text{d}y = $

$ = 16 \int_1^{\sqrt2} [\int_0^{\pi/2}(r^2 cost sint)/r^2 \text{d}t] \sqrt(1+4r^2) r\text{d}r = 16 \int_1^{\sqrt2} [\int_0^{\pi/2}cost sint \text{d}t] \sqrt(1+4r^2) r\text{d}r = $

$ = \int_1^{\sqrt2} \sqrt(1+4r^2) 8r\text{d}r = [2/3 (1+4r^2)^{3/2}]_1^{\sqrt2} = 2/3 [(1 + 8)^{3/2} - (1 + 4)^{3/2}] = 2/3 [27 - 5\sqrt5] = $

$ = 18 - 10/3 \sqrt5 $