Integrale Superficiale

[Biagio2580]

Il cui risultato finale è: $18−10/3 \sqrt5 $

Se sei sicuro che questo sia il risultato finale, allora con la parametrizzazione che ho già scritto si ha $ 1 \le z = x^2 + y^2 = r^2 \le 2 \implies 1 \le r \le \sqrt2 $ e da $r cos t > 0 $ e $r sin t > 0 $ segue $t \in (0, \pi/2) $, sicché si ha:

$\int \int_{\Sigma } (16xy)/(x^2+y^2)\text{d}S = 16 \int\int_{1 \le x^2 + y^2 \le 2} (xy)/(x^2 + y^2) \sqrt{1 + 4(x^2 + y^2)} \text{d}x \text{d}y = $

$ = 16 \int_1^{\sqrt2} [\int_0^{\pi/2}(r^2 cost sint)/r^2 \text{d}t] \sqrt(1+4r^2) r\text{d}r = 16 \int_1^{\sqrt2} [\int_0^{\pi/2}cost sint \text{d}t] \sqrt(1+4r^2) r\text{d}r = $

$ = \int_1^{\sqrt2} \sqrt(1+4r^2) 8r\text{d}r = [2/3 (1+4r^2)^{3/2}]_1^{\sqrt2} = 2/3 [(1 + 8)^{3/2} - (1 + 4)^{3/2}] = 2/3 [27 - 5\sqrt5] = $

$ = 18 - 10/3 \sqrt5 $

pilloeffe , sono d'accordo con te , per questo ho chiesto chiarimenti , non mi tornava il fatto che ci fosse 0 nell'intervallo , quello che ho riportato è lo svolgimento dell'esercizio , non è il mio svolgimento. I vostri ragionamenti sono molto chiari e mi hanno aiutato molto , probabilmente sarà un'errore di battitura del testo credo , ma grazie veramente a tutti , ora è più chiaro!

[Biagio2580]

Invece Ragazzi , colgo l'occasione per chiedere anche della parametrizzazione di questa superficie :
Ho che la superficie è data da : $ S{(x,y,z): x^2+y^2+z^2<=4, z=y} $. E mi dice che la parametrizzazione è data da :
$ { ( x=2cost ),( y=sqrt(2)sint ),( y=sqrt(2)sint ):}, t \in[0,2pi] $
Capisco ovviamente che le ultime due coordinate devono essere uguali , ma non capisco come mai sulla x ho 2 davanti al cos, mentre per y(e di conseguenza per z) ho la radice , di solito quella coordinata parametrizzata rappresenta il raggio della figura , cosa cambia in questo caso?

[sellacollesella]

Assegnata la superficie di supporto: \[
\Sigma := \left\{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 : z = y, \; x^2+y^2 +z^2 \le 4\right\}
\] in prima battuta si potrebbe parametrizzare banalmente così: \[
\begin{cases}
x = u \\
y = v \\
z = v \\
\end{cases}
\quad \quad \text{con} \; u^2+2v^2 \le 4.
\] D'altro canto, è naturale non essere soddisfatti, dato che ci piacerebbe \(u_1 \le u \le u_2\) e \(v_1 \le v \le v_2\).

Pertanto, è bene manipolare un po' quella disequazione: \[
u^2+2v^2 \le 4
\quad \Rightarrow \quad
\frac{u^2}{4}+\frac{v^2}{2} \le 1
\quad \Rightarrow \quad
\frac{u^2}{(2)^2}+\frac{v^2}{\left(\sqrt{2}\right)^2} \le 1
\] da cui ne consegue la parametrizzazione vincente: \[
\begin{cases}
x = 2\,\rho\cos\theta \\
y = \sqrt{2}\,\rho\sin\theta \\
z = \sqrt{2}\,\rho\sin\theta \\
\end{cases}
\quad \quad \text{con} \; (\rho,\theta) \in [0,1] \times [0,2\pi).
\] Naturalmente, per parametrizzare una superficie si necessita sempre di due parametri.

[Biagio2580]

ma se avessi lasciato 4 e 2 sulla parametrizzazione sarebbe andato comunque bene ?( e comunque non capisco effettivamente perchè in questo esercizio , nello svolgimento , non venga presa ad esempio r come secondo parametro , ma si usi solo t)

[sellacollesella]

ma se avessi lasciato 4 e 2 sulla parametrizzazione sarebbe andato comunque bene ?

In linea di principio sì, ma poi si complicano i range in cui variano i parametri.

non capisco effettivamente perchè in questo esercizio , nello svolgimento , non venga presa ad esempio r come secondo parametro , ma si usi solo t)

In tal caso stanno parametrizzando il bordo della superficie, dipende tutto da quello che si deve fare.

[Biagio2580]

Un'ultima cosa , dopo viene richiesto di calcolare l'integrale lungo la superficie utilizzando Stokes , il che implica che devo calcolare la normale . Mi è dato anche un campo di forze , oltre alla superficie che ho scritto prima , il campo di forze in questo caso è: $ F=(y+z,x+z,x+y) $. Poi la normale mi viene detto che è : $ (0,-1,1) $ .Non capisco se c'è una formula standard per calcolare la normale , per calcolarla , devo sempre usare la superficie o nel caso ci sia , il campo di forze ?

[Biagio2580]

ma se avessi lasciato 4 e 2 sulla parametrizzazione sarebbe andato comunque bene ?

Sì, però a quel punto cambia il range in cui varia il parametro \(\rho\).

Non sarebbe comunque rimasto $ [0,1] $ ?

[pilloeffe]

non capisco come mai sulla x ho 2 davanti al cos, mentre per y(e di conseguenza per z) ho la radice

Beh, perché se hai $x^2+y^2+z^2<=4 $ e $z=y $, allora puoi sostituire $y$ a $z$ e ottieni:

$x^2 + y^2 + y^2 \le 4 $

$x^2 + 2y^2 \le 4 $

Quindi è logico che $x$ possa essere astutamente parametrizzata in modo che il coefficiente di $\rho $ sia $ 2 $ (in modo che al quadrato risulti $4$) mentre $y$ possa essere astutamente parametrizzata in modo che il coefficiente di $\rho $ sia $ \sqrt2 $ (in modo che al quadrato risulti $2$ e moltiplicato per il $2$ davanti a $y$ risulti di nuovo $4$). Poi è chiaro che se assumi $\rho = 1 $ ottieni ciò che hai scritto.

[sellacollesella]

Biagio, in tutta sincerità stai facendo il passo più lungo della gamba. Prima di avventurarti in applicazioni abbastanza articolate come potrebbero essere all'inizio i teoremi del rotore e della divergenza cerca di capire come si parametrizzano curve e superfici, perché tutto ruota attorno a tale operazione, poi viene il resto.

Il fatto che sopra l'intervallo in cui spazia \(\rho\) sia \([0,1]\) discende dalla risoluzione di un sistema di disequazioni. Sapresti indicare quale? Cerca di focalizzarti su questo, poi potrai alzare l'asticella con dell'altro.

[Biagio2580]

Biagio, in tutta sincerità stai facendo il passo più lungo della gamba. Prima di avventurarti in applicazioni abbastanza articolate come potrebbero essere all'inizio i teoremi del rotore e della divergenza cerca di capire come si parametrizzano curve e superfici, perché tutto ruota attorno a tale operazione, poi viene il resto.

Il fatto che sopra l'intervallo in cui spazia \(\rho\) sia \([0,1]\) discende dalla risoluzione di un sistema di disequazioni. Sapresti indicare quale? Cerca di focalizzarti su questo, poi potrai alzare l'asticella con dell'altro.

Capisco quello che dici , effettivamente è vero , però sono cose che comunque sto affrontando e non avevo mai visto . Per quanto riguarda magari la parametrizzazione di segmenti ora mi è chiaro ad esempio , mentre per circonferenze ed ellissi ancora mi trovo in difficoltà , ma giusto nel manipolare inizialmente le 2 equazioni che definiscono la superfice. Stokes e il Teorema della Divergenza li sto studiando , quindi devo cercare di stare al passo e studiare anche queste cose . Alcuni esercizi mi restano più facili , altri più difficili , è normale credo , per questo chiedo intanto chiarimenti su altri argomenti. Grazie della disponibilità