Integrale Superficiale

[sellacollesella]

Capisco quello che dici , effettivamente è vero , però sono cose che comunque sto affrontando e non avevo mai visto.

Sì, per questo vanno affrontate adagio.

Stokes e il Teorema della Divergenza li sto studiando , quindi devo cercare di stare al passo e studiare anche queste cose.

Essendo ancora studente non posso che capirti, però so anche che è meglio fare un gradino per volta.

Per quanto riguarda magari la parametrizzazione di segmenti ora mi è chiaro ad esempio

Ottimo!

mentre per circonferenze ed ellissi ancora mi trovo in difficoltà

Allora, dato che per una ellisse con assi paralleli a quelli cartesiani si ha:\[
\frac{(x-x_c)^2}{a^2}+\frac{(y-y_c)^2}{b^2}\le 1
\quad \quad \Rightarrow \quad \quad
\begin{cases}
x = x_c+a\,\rho\cos\theta \\
y = y_c+b\,\rho\sin\theta \\
\end{cases}
\quad \quad \text{con} \; (\rho,\theta) \in [0,1] \times [0,2\pi)
\] sapresti dimostrare il perché siano corretti quegli intervalli?

Alcuni esercizi mi restano più facili , altri più difficili , è normale credo , per questo chiedo intanto chiarimenti su altri argomenti.

Certo che è normale e proprio perché ho notato qualche difficoltà localizzata ho cercato di focalizzarla.

[Biagio2580]

mentre per circonferenze ed ellissi ancora mi trovo in difficoltà

Allora, dato che per una ellisse con assi paralleli a quelli cartesiani si ha:\[
\frac{(x-x_c)^2}{a^2}+\frac{(y-y_c)^2}{b^2}\le 1
\quad \quad \Rightarrow \quad \quad
\begin{cases}
x = x_c+a\,\rho\cos\theta \\
y = y_c+b\,\rho\sin\theta \\
\end{cases}
\quad \quad \text{con} \; (\rho,\theta) \in [0,1] \times [0,2\pi)
\] sapresti dimostrare il perché siano corretti quegli intervalli?

Bhe in questo caso , visto che è il caso generale , avrò $ vartheta \in[0,2pi] $ perchè non avendo altre condizioni , posso considerare l'intero giro dell'ellisse , che appunto parte da 0 e può arrivare a massimo $ 2pi $ (Se avessi avuto altre condizioni , tipo di stare nel primo ottante , in quel caso il mio intervallo si sarebbe ridotto a $ pi/2 $ ) , mentre per quanto riguarda $ rho $ , se $ rho=0 $ , ci troviamo al centro dell'ellisse , mentre se $ rho=1 $, ci troviamo appunto sul "bordo" , se così lo vogliamo definire , e penso che sia dato dalla condizione $ <=1 $ , giusto?

[sellacollesella]

Qualitativamente il concetto ce l'hai in testa, però poi a livello pratico non hai idea di come dimostrarlo.

Pertanto, se l'esercizio impone: \[
\frac{(x-x_c)^2}{a^2} + \frac{(y-y_c)^2}{b^2} \le 1
\] e si decide di parametrizzare così: \[
\begin{cases}
x = x_c + a\,\rho\cos\theta \\
y = y_c + b\,\rho\sin\theta \\
\end{cases}
\] affinché quella parametrizzazione abbia senso deve verificare la disequazione: \[
\frac{(x_c + a\,\rho\cos\theta-x_c)^2}{a^2} + \frac{(y_c + b\,\rho\sin\theta-y_c)^2}{b^2} \le 1
\] ossia: \[
\frac{a^2\rho^2\cos^2\theta}{a^2} + \frac{b^2\rho^2\sin^2\theta}{b^2} \le 1
\] o ancora: \[
\rho^2\left(\cos^2\theta+\sin^2\theta\right) \le 1
\] da cui: \[
\rho^2 \le 1
\quad \quad \Leftrightarrow \quad \quad
-1 \le \rho \le 1.
\] D'altro canto, sappiamo anche che in coordinate polari nel piano devono valere: \[
\rho \ge 0,
\quad \quad \quad \quad
0 \le \theta < 2\pi
\] che poste a sistema con quanto ottenuto sopra porgono quanto desiderato: \[
0 \le \rho \le 1,
\quad \quad \quad \quad
0 \le \theta < 2\pi.
\] Ecco, questi sono i conti che uno dovrebbe sempre fare per capire dove spaziano i rispettivi parametri.

Ed è proprio per questo motivo che le parametrizzazioni sono sì potenzialmente infinite, ma tra queste
ve ne sono molte di meno che permettono di determinare gli intervalli in modo relativamente semplice.

[Biagio2580]

E questo lo comprendo , non capivo cosa intendessi per dimostrare, però questo che hai scritto tu mi è chiaro. Ma in questo modo i coefficenti $a$ e $b$ ,non si semplificano sempre ? Il che porta ad avere poi sempre $ rho^2 <=1 $ .

[sellacollesella]

Certo, se si adotta quel tipo di parametrizzazione si arriva sempre a \(\rho \in [0,1]\) e \(\theta \in [0,2\pi)\), perlomeno al netto di ulteriori restrizioni imposte dall'esercizio. Tutto ciò era per farti capire che se per qualche motivo poi decidessi di procedere come poc'anzi hai scritto:

ma se avessi lasciato 4 e 2 sulla parametrizzazione sarebbe andato comunque bene ?

Non sarebbe comunque rimasto $ [0,1] $ ?

non otterresti più quei bei intervallini in quanto la disequazione da cui discende tutto non si semplificherà più così tanto e i conti saranno moooolto più impegnativi e gli intervalli moooolto più complessi.

[Biagio2580]

Si si infatti capisco , ti ringrazio perchè comunque mi porti al ragionamento . Ad esempio , in questo caso , io non sapevo che l'ellisse avesse una parametrizzazione base di questo tipo . Infatti ti volevo chiedere , esiste una formula per parametrizzare per ogni figura geometrica ?( perchè in caso me le studio prima di fare gli esercizi, ora so quelle di circonferenza, ellisse e di un semplice segmento ).
Poi ti volevo chiedere appunto della Normale , che avevo scritto prima . Grazie !!!

[sellacollesella]

Il problema delle parametrizzazioni di curve, superfici e solidi inizialmente appare insormontabile, perché sembra che ogni volta il docente di turno tiri fuori dal cilindro una parametrizzazione, che a posteriori si può verificare funzionare alla perfezione (come abbiamo appena fatto con l'ellisse), ma che a priori uno può rimanere interdetto sul come "pensarla". D'altro canto, poi a furia di studiare la teoria e fare gli annessi esercizi (indispensabili pure loro) si capisce che gira e rigira capitano sempre le solite curve e superfici.

Circa le curve, si comincia dalle rette per poi passare alla classe delle coniche, ossia ellissi, iperboli e parabole. Circa le superfici, si comincia dai piani per poi passare alla classe delle quadriche, ossia tra quelle generali: ellissoidi, iperboloidi e paraboloidi, tra quelle speciali: cilindri e coni. Tutto ciò, nel 99% dei casi intese con i rispettivi assi paralleli a quelli cartesiani, quindi al più traslate nel piano o nello spazio, ma non ruotate (in quest'ultimo caso le cose si possono fare molto più complesse e calcolose).

D'altro canto, ogni tanto potrebbe capitare altro. Ad esempio, alle volte capitano delle eliche cilindriche oppure gli analoghi elicoidi circa le superfici, ma questo dipende dall'inclinazione del vostro docente, dovete indagare un po' voi su quali altre curve e superfici soffermarvi un pochino e fare qualche esercizio per famigliarizzare un po'. Potrebbe essere utile consultare anche più libri tra quelli consigliati dal vostro docente.

Sull'ultima tua richiesta, ti rispondo così: \[
\begin{aligned}
& \gamma \, : \, (x,y,z) := \mathbf{r}(t) \quad \quad \quad \; \Rightarrow \quad \quad \mathbf{T}(t) = \mathbf{r}'(t) \\
& \Sigma \, : \, (x,y,z) := \mathbf{r}(u,v) \quad \quad \Rightarrow \quad \quad \mathbf{N}(u,v) = \mathbf{r}_u(u,v) \times \mathbf{r}_v(u,v) \\
\end{aligned}
\] dove ho messo a confronto il vettore tangente per le curve e il vettore normale per le superfici, sott'intendendo che siano perlomeno regolari a tratti, altrimenti nascerebbero dei problemi.


P.S.: nel caso particolare di una superficie descritta da \(z=f(x,y)\) che si decide di parametrizzare così: \[
(x,y,z) = (u,v,f(u,v))
\] si ottiene: \[
\mathbf{N}(u,v) = (1,0,f_u(u,v)) \times (0,1,f_v(u,v)) = \left(-f_u(u,v),\,-f_v(u,v),\,1\right)
\] da cui: \[
||\mathbf{N}(u,v)|| = \sqrt{f_u^2(u,v)+f_v^2(u,v)+1^2} = \sqrt{1+||\nabla f(u,v)||^2}.
\] Questo per sottolineare il fatto che quest'ultima formulazione è un caso particolare di quella generale.

[Biagio2580]

Quindi nel caso "base" devo parametrizzare e andare a fare la matrice con le derivate prime di $ u $ e $ v $, calcolandone il determinante , giusto? Il caso particolare lo ho capito , ed era anche su questo esercizio effettivamente. Quindi devo guardare sempre l'equazione della superficie giusto?

[pilloeffe]

Biagio2580,

Scusami, ma vorrei farti notare che nello stesso thread siamo passati dall'Integrale Superficiale (titolo dell'OP) alla parametrizzazione delle curve/superfici al teorema di Stokes: almeno per il futuro, potresti cortesemente aprire un post per ogni argomento? Grazie!

[sellacollesella]

Quindi nel caso "base" devo parametrizzare e andare a fare la matrice con le derivate prime di $ u $ e $ v $, calcolandone il determinante , giusto?

Esatto, in generale occorre passare per quei conti lì. Noiosi, lo so, però a quel punto hai un modus operandi sufficientemente generale e robusto. Naturalmente, se poi si capita nei casi particolari, puoi anche applicare direttamente la formulazione preconfezionata, però quando si mette il pilota automatico occorre essere sicuri di quello che si sta per fare, altrimenti di rischia di non decollare.

Quindi devo guardare sempre l'equazione della superficie giusto?

Certo, l'equazione e annesse disequazioni per determinare gli intervalli in cui far variare i parametri.

Naturalmente, se poi contestualizziamo queste parametrizzazioni nel mondo degli integrali (multipli, di linea o di superficie che siano) occorre tenere conto anche dell'integranda, nel senso che quando gli esercizi cominciano ad imbruttirsi potrebbe essere il caso di scegliere una parametrizzazione che semplifichi anche l'integranda, non solo gli intervalli dove far variare i parametri e qui occorre fare un po' di esperienza, ovvero imprecare qualche pomeriggio, per capire come bilanciare il tutto. Però non mettiamo il carro davanti ai buoi, passo dopo passo ci arriverai, ora allenati con cose non troppo incasinate, altrimenti ti stufi anzitempo.