Un calcolo che non ho capito (come approssimazione)

[garante]

Ciao, cerco un aiuto su un esercizio, o meglio solo un passaggio per cui il Prof fa una approssimazione che non capisco benissimo....

SI ha $B=x^2-y^2$ e l ipoesi che $x \approx y$

Quindi: $(x+y)(x-y)\approx2x(x-y)$

Il mio dubbio sorge qui: perché x+y posso apporssimarlo come x+x=2x mentre x-y non posso scrivere x-x=0?
Mi sembra che usi un diverso trattamento nei due casi.

Anche numericamente in modo stupido direi sia $ x=1.000001$ e $y=1$, sotto questa ipotesi $x-y=0.000001$ e $x+y=2.000001$ l'errore che compio in entrambi i casi è che approssimo a 2 trascurando 0.000001 nella somma; così come apporssimo a zero trascurando 0.000001 nella sottrazione.
Non capisco quindi perché nella somma valga e nella sottrazione no :\

[axpgn]

Il problema è che se approssimi a zero la differenza, il prodotto si annulla e perdi tutto.

[garante]

Sì, esatto, infatti nella mia approssimazione avrei detto: "è zero" e basta.

Ma ha senso poter approssimare solo la parte (x+y)? l'idea che mi ero fatto era che "sì, si può, ma a patto che (x+y) sia più approssimabile di (x-y)"

Cosa intendo per piu' approssimabile? Intendo che in qualche modo commetto meno errore approssimando la parte del + che quella con il -, questo era intuitivamente ma non riesco a vederlo. Deduco quindi che in realtà non è così?

[axpgn]

No, non è così.
Ripeto, se approssimi la differenza a ZERO perdi tutto, è questo il punto cruciale.
Fatti un paio di prove e verifica tu stesso.

[Mephlip]

@garante: Che io sappia, l'unico modo rigoroso per trattare queste approssimazioni è mediante il concetto di stima asintotica. Due funzioni sono asintotiche per $x \to x_0$ se $\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)}=1$. Dato che per ogni $x \ne y$ con $x \ne 0$ risulta:
$$\lim_{x \to y} \frac{2x(x-y)}{x^2-y^2}=\lim_{x \to y} \frac{2x(x-y)}{(x+y)(x-y)}=\lim_{x \to y} \frac{2x}{x+y}=\frac{2x}{2x}=1$$
Si può usare $2x(x-y)$ come approssimazione di $x^2-y^2$ quando $x \to y$. Chiaramente, se si usa $0$ non si ottiene che quel limite è $1$; sostanzialmente, è ciò che sta dicendo axpgn: in quel caso, stai facendo una stima troppo grezza e ottieni addirittura una funzione costante. In che corso hai visto questa approssimazione?

[garante]

Grazie anche a te Mephlip, siccome sono al primo anno e sto affrontando proprio ora i limiti volevo anche allargare la domanda

Per risponderti: E' un corso di fisica in parallelo con analisi I, quindi cerco sempre di riportare in modo rigoroso le cose viste in altri corsi, dato che vorrei allenarmi essendo una capra

in quel caso, stai facendo una stima troppo grezza e ottieni addirittura una funzione costante

Sì esatto quello mi era chiaro, però in testa mi dicevo: se la stima (x-y)=0 è troppo grezza rispetto a (x+y)=2x allora in qualche modo posso mostrare anche numericamente che porre (x-y)=(x-x) è più grezzo di scrivere (x+y)=(x+x), invece mi pareva che questa idea non funzionava e non capisco bene il motivo.
Quello che voglio cioè dire è che se è troppo grezza, in qualche modo devo riuscire a vedere che (x-y) approssimato in quel modo è più grossolano di (x+y)

Per la domanda sui limiti.
$$\lim_{x \to y} \frac{2x(x-y)}{x^2-y^2}=\lim_{x \to y} \frac{2x(x-y)}{(x+y)(x-y)}=\lim_{x \to y} \frac{2x}{x+y}=\frac{2x}{2x}=1$$

Sto facendo alcuni esercizi e per serendipità mi ponevo na domanda su un caso simile, ma usiamo questo:

$lim_(x ->y)(x-y)/(x^2-y^2)$ come mai in questo caso non funziona l' "algebretta dei limiti"? cioè quella dove intuitivamente inserisco: $(y-y)/(y^2-y^2)$? non riesco cioè a capire perché in questo caso non funzioni. E' un caso di forma indeterminata?

[pilloeffe]

Ciao garante,

E' un caso di forma indeterminata?

Solo apparentemente:

$\lim_(x \to y)(x-y)/(x^2-y^2) = \lim_(x \to y)(x-y)/((x - y)(x + y)) = \lim_(x \to y) 1/(x + y) = 1/(2y) $

[Fioravante Patrone]

Ogni tanto passo da qui, e qualche volta ne vale la pena.
Per lo meno dal punto di vista personale.

Questo post mi ha rimandato indietro di qualche anno
Era l'estate del 1977, e seguivo il corso di Analisi Numerica tenuto da Gautschi a Perugia, alla scuola interuniversitaria.
Una delle prime lezioni, centrate sul trattamento degli errori.
Compresi allora che la somma è una cosa diversa dalla differenza, anche se non ricordo più l'esempio specifico che fece: attenzione al rischio di "cancellazioni" indesiderate. Ma, come ogni volta che si apprende davvero qualcosa di nuovo, per giunta toccandolo con mano, è sempre rimasto un po' di posto nella mia memoria, anche se magari in uno sgabuzzino polveroso.

Io la farei molto semplice.
$x=y+c$ (vale sempre, basta scegliere $c=...$)

Allora:
$(x+y)(x-y)=(y+c+y)(y+c-y)=(2y+c)c$
Come osservi tu, se a $c$ sostituisci $0$ ti sparisce tutto.
Ovviamente stiamo immaginando che $c$ sia "molto più piccolo" di $y$, se pensiamo di fare cose sensate.
E certamente è vero che comunque la quantità che si ottiene è "piccola".
Ma il prof, da buon fisico, non vuole rimanere con un pugno di mosche in mano. Gli interessa sapere che il risultato è:
$(2y+c)c$. Ovvero $2yc+c^2$
E, quindi, se $c$ è "molto più piccolo" di $y$, sa che viene qualcosa tipo $2yc$, trascurando il termine $c^2$

Come esempio, basta prendere i dati che (giustamente) hai preso tu per fare una prova.
Vedi come il risultato che emerge in questo modo offre una lettura più interessante che non dire "è praticamente 0".


Nota finale, da vecchio ex prof, molto paternalista (nonnista).
Complimenti, vai avanti così. Ottimo esempio di come si dovrebbe studiare.
E complimenti per esserti fatto un esempio. Ti stupirà, ma sono troppi i tuoi colleghi che neanche ci pensano, a questa opportunità.
Ci rivedremo, almeno in spirito, quando incrocerai l'urang-utang

[garante]

@Fioravante Patrone: grazie mille per e tue parole e per lo spunto. E' un bellissimo esempio di spiegazione spostando il dubbio su una soluzione pulita e semplice. Mi entusiasma sempre quando incontro soluzioni del genere.

Comunque, in sostanza, da tutte le vostre risposte mi pare proprio di aver capito che quando si approssima x+y=2x=2y anziché x-y=0 non è che mi permetta l'una di fare meno errore dell'altra approssimazione. Il problema operativo è che come dice Fioravante alla fine mi troverei con un pugno di mosche in mano operando in un certo modo, e dato che non siamo degli stupidi ci riduciamo ad apporssimare la parte più "furba" ma che comunque ci lasci una valutazione quantitativa del problema.



@pilloeffe: sì esatto solo apparentemente, mi spiego meglio. Quello che volevo dire è questo: non riesco ad operare la sostituzione come "algebretta dei limiti" perché mi riduco a una forma 0/0, questo mi segnala che posso operare in modo intelligente e portarmi come hai fato tu al risultato 1/2y.
Il senso della mia domanda su quel limite era questo: solitamente coi limiti posso fare la sostituzione che avevo fatto nel post prima del tuo, ma come faccio ad accorgermi che in questo caso non funziona? Beh lo capisco perché ottengo 0/0 quindi devo cercare un'altra via risolutiva. E' corretto? Questo chiedvo


E per intanto BUONE FESTE a tutti!

[pilloeffe]

solitamente coi limiti posso fare la sostituzione che avevo fatto nel post prima del tuo, [...]

Attenzione a questa "sostituzione", che si può fare se la funzione in esame è definita (e la funzione $(x - y)/(x^2 - y^2) $ non è definita in $x = y$) e dove è definita è continua, cioè se

$\lim_{x \to y} f(x) = f(y) $

altrimenti in generale non si può fare: il concetto di limite è diverso dal concetto di valore assunto dalla funzione in quel punto...