Divergenza

[periodo_vettoriano]

Credo di avere un dubbio che non mi è chiarissimo come andare a risolverlo. Provo a spiegarlo brevemente.

Il dubbio è sulle trasformazioni di gauge:
sia un campo A tale che $nabla xx A=B$ (in generale $nabla * A!=0$), a questo punto giustamente il testo fa notare che dato un campo $A'=A+nablaf$ è ancora valido che $nabla xx A'=B$. Fin qui ci siamo.

Ora, dice che sostanzialmente ho un grado di libertà e che se scelgo una A' t.c $nabla * A'=0$ (gauge di Coulomb),quindi se scelgo f (scalare) t.c $nabla*A+nabla^2f=0$ posso definire il campo A' univocamente dando:

$nabla xx A' = B$ e $nabla*A'=0$

Il mio dubbio risiede qui:
Potrei ipotizzare esista anche un campo C tale che $nabla xx C=B$ (in generale $nabla * C!=0$) e che $C'=C+nablag$

Quindi: $nabla xx C' = B$ e $nabla*C'=0$

A questo punto mi dico, se il prof dice che $nabla xx A' = B$ e $nabla*A'=0$ definisce il campo A' univocamente: cioè esiste un solo campo A' che rende la divergenza nulla e che il suo rotore sia pari a B, allora $nabla xx C' = B$ e $nabla*C'=0$ dovrebbe farmi dedurre che $C'=A'$.

Tuttavia guardiamo alla $nabla*C'=0=nabla*A' => nabla*(C'-A')=0$ non posso dedurre che $C'-A'=0$, perché? Beh un po come dire nel caso di Analisi I: $(df)/(dx)=(dg)/(dx) =>(d(f-g))/(dx)=0$ è evidente che $f=3x+2$ e $g=3x+4$ rendono vero $(df)/(dx)=(dg)/(dx)$ ma mica $g=f$.

Non capisco bene come risolvere questo dubbio

[pilloeffe]

Ciao periodo_vettoriano,

Si tratta del Teorema di Helmholtz. Potresti dare un'occhiata ad esempio a questo thread ovvero qui: https://en.wikipedia.org/wiki/Helmholtz_decomposition in particolare ai documenti nelle Notes.

Tuttavia guardiamo alla $ \nabla \cdot C'=0=\nabla \cdot A' => \nabla \cdot (C'-A')=0 $ non posso dedurre che $C'−A'=0$

Qui però hai sfruttato solo la condizione sulla divergenza, ma non l'altra condizione:

$ \nabla xx A' = B = \nabla xx C' $

[periodo_vettoriano]

Ah, caspita, qui mi sa che c'è molto più lavoro di quanto pensassi per comprendere bene. Il fatto è che in questo esame di elettromagnetismo mi è stato dato come ovvio quanto riportavo sopra per il campo A, invece mi sembra che si debba studiare ben più in modo approfondito...

Sicuramente in 'sti giorni mi metto a leggere i tuoi link, nel frattempo volevo poter chiarire il dubbio anche se "sempliciotto" da me riportato sfruttando il tuo suggerimento di non aver usufruito della condizione:

Qui però hai sfruttato solo la condizione sulla divergenza, ma non l'altra condizione:

$ \nabla xx A' = B = \nabla xx C' $

, questo è vero. Ma non ho capito in che modo mi aiuti per giungere a mostrare che A=C'. Posso chiederti qualche dettaglio in più THX

[periodo_vettoriano]

Volevo fare un up @pilloeffe , mi era poi rimasto quel dubbio

[pilloeffe]

mi sembra che si debba studiare ben più in modo approfondito...

Sì, la questione è un po' lunghetta, provo a vedere se riesco a risponderti...

Siano $\vec E $ e $\vec B $ definiti per mezzo dei potenziali $\varphi $ e $\vec A $:

$\vec B = \nabla \times \vec A $

$\vec E = - \nabla \varphi - (\del \vec A)/(\del t) $

Se prendiamo una qualsivoglia funzione scalare $f = f(x, y, z, t) $ continua e con derivate continue e definiamo le quantità

$ \vec A' = \vec A + \nabla f $

$ \varphi' = \varphi - (\del f)/(\del t) $

I vettori $\vec E $ e $\vec B $ non variano rispetto alle trasformazioni di gauge, infatti si ha:

$ \vec B' = \nabla \times \vec A' = \nabla \times (\vec A + \nabla f) = \nabla \times \vec A + \nabla \times \nabla f = \nabla \times \vec A = \vec B $

$ \vec E' = - \nabla \varphi' - (\del \vec A')/(\del t) = - \nabla \varphi + \nabla (\del f)/(\del t) - (\del)/(\del t)(\vec A + \nabla f ) = - \nabla \varphi - (\del \vec A)/(\del t) = \vec E$

Questa non unicità porta ad un grado di libertà nella formulazione dell'elettrodinamica, o libertà di gauge, che richiede una scelta di gauge per ottenere la desiderata unicità.
Poiché nella meccanica atomica il solo mezzo che si considera è il vuoto, si ha $\epsilon = \epsilon_0 $ e $\mu = \mu_0 $ e quindi le variazioni spaziali relative di $\epsilon $ e $\mu $, cioè $(\nabla \epsilon)/\epsilon $ e $ (\nabla \mu)/\mu $, che comunque tipicamente si ammettono piccole, sono nulle, le equazioni di Maxwell si semplificano nelle seguenti:

$\nabla \cdot \vec E = \rho/\epsilon_0 $

$\nabla \times \vec B = \mu_0[\vec J + (\del)/(\del t)(\epsilon_0 \vec E)] $

Ma $\vec E = - \nabla \varphi - (\del \vec A)/(\del t) $ e $\vec B = \nabla \times \vec A $, sicché si ha:

$\nabla \cdot (- \nabla \varphi - (\del \vec A)/(\del t)) = \rho/\epsilon_0 $

$\nabla \times (\nabla \times \vec A) = \mu_0[\vec J + (\del)/(\del t)(- \epsilon_0 \nabla \varphi - \epsilon_0 (\del \vec A)/(\del t))] $

ovvero

$- \nabla \cdot \nabla \varphi - (\del)/(\del t)(\nabla \cdot \vec A) = \rho/\epsilon_0 $

$\nabla \times \nabla \times \vec A = \mu_0[\vec J + (\del)/(\del t)(- \epsilon_0 \nabla \varphi) - \epsilon_0 (\del^2 \vec A)/(\del t^2)] $

A questo punto, facendo uso dell'identità vettoriale $ \nabla \times \nabla \times \vec A = - \nabla^2 \vec A + \nabla (\nabla \cdot \vec A) $ si ha:

$ \nabla^2 \varphi + (\del)/(\del t)(\nabla \cdot \vec A) = - \rho/\epsilon_0 $

$- \nabla^2 \vec A + \nabla (\nabla \cdot \vec A) = \mu_0[\vec J + (\del)/(\del t)(- \epsilon_0 \nabla \varphi) - \epsilon_0 (\del^2 \vec A)/(\del t^2)] $

ovvero

$ \nabla^2 \varphi = - \rho/\epsilon_0 - (\del)/(\del t)(\nabla \cdot \vec A)$

$\nabla^2 \vec A - \mu_0 \epsilon_0 (\del^2 \vec A)/(\del t^2) = - \mu_0 [\vec J + (\del)/(\del t)(- \epsilon_0 \nabla \varphi)] + \nabla(\nabla \cdot \vec A) $

A questo punto facendo uso della relazione $\mu_0 \epsilon_0 = 1/c^2 $ ed assumendo la scelta di gauge di Coulomb $\nabla \cdot \vec A = 0 $, le equazioni ai potenziali diventano le seguenti:

$ \nabla^2 \varphi = - \rho/\epsilon_0 $ (equazione di Poisson)

$ \nabla^2 \vec A - 1/c^2 (\del^2 \vec A)/(\del t^2) = - \mu_0 [\vec J + (\del)/(\del t)(- \epsilon_0 \nabla \varphi)] $

Poiché per ipotesi nella regione di spazio considerata non si hanno particelle cariche, si ha $\rho = 0 \implies \vec J = \rho \vec u = 0 \vec u = \vec 0 $, sicché si ha:

$ \nabla^2 \varphi = 0 $ (equazione di Laplace)

$ \nabla^2 \vec A - 1/c^2 (\del^2 \vec A)/(\del t^2) = - \mu_0 (\del)/(\del t)(- \epsilon_0 \nabla \varphi) $

Poiché si impone $\varphi = 0 $ sul contorno della regione considerata, per un noto teorema sulle funzioni armoniche (che sono le funzioni $g$ tali che $\nabla^2 g = 0$) che afferma che una funzione armonica assume i valori che ha sul contorno della regione in cui è definita, risulta $\varphi = 0 \implies \nabla \varphi = \vec 0 $ nella regione considerata, di conseguenza l'equazione che determina il potenziale vettore $\vec A $ si riduce alla seguente:

$ \nabla^2 \vec A - 1/c^2 (\del^2 \vec A)/(\del t^2) = \vec 0 $

[periodo_vettoriano]

Grazie mille per la tua gentile e dettagliata risposta. Credo di aver capito le elaborazioni che hai fatto ma sai che non ho ben capito come risponda però alla mia domanda?

Provo a spiegarmi, noi abbiamo detto che c'è un grado di libertà nella definizione di A, questo mi è chiaro, d'altra parte sappiamo che per affermazione del prof

dice che sostanzialmente ho un grado di libertà e che se scelgo una A' t.c $nabla * A'=0$ (gauge di Coulomb),quindi se scelgo f (scalare) t.c $nabla*A+nabla^2f=0$ posso definire il campo A' univocamente dando:

$nabla xx A' = B$ e $nabla*A'=0$

fin qui ci sono, e questo grado di libertà lo evidenzia anche tu nella risposta.

Tuttavia io mi chiedo perché la parte sottolineata sia vera, cioè perché sia "univocamente" determinato A' dando il rotore e la divergenza, per questo dicevo: se ipotizzo un secondo campo C se A' è univoco allora A=C' no?

Potrei ipotizzare esista anche un campo C tale che $nabla xx C=B$ (in generale $nabla * C!=0$) e che $C'=C+nablag$

Quindi: $nabla xx C' = B$ e $nabla*C'=0$

A questo punto mi dico, se il prof dice che $nabla xx A' = B$ e $nabla*A'=0$ definisce il campo A' univocamente: cioè esiste un solo campo A' che rende la divergenza nulla e che il suo rotore sia pari a B, allora $nabla xx C' = B$ e $nabla*C'=0$ dovrebbe farmi dedurre che $C'=A'$.

Tuttavia guardiamo alla $nabla*C'=0=nabla*A' => nabla*(C'-A')=0$ non posso dedurre che $C'-A'=0$, perché? Beh un po come dire nel caso di Analisi I: $(df)/(dx)=(dg)/(dx) =>(d(f-g))/(dx)=0$ è evidente che $f=3x+2$ e $g=3x+4$ rendono vero $(df)/(dx)=(dg)/(dx)$ ma mica $g=f$.

Il tuo suggerimento era che l'univocità posso dimostrarla sfruttando anche il rotore (io ho usato solo la condizione sulla divergenza difatti). Come scrivevi tu:

Qui però hai sfruttato solo la condizione sulla divergenza, ma non l'altra condizione:

$ \nabla xx A' = B = \nabla xx C' $

Però non credo di aver capito come giungo a mostrare che A' è univocamente definito (ossia che A'=C) sfruttando $ \nabla xx A' = B = \nabla xx C' $.

[pilloeffe]

Mi sa che non hai letto con attenzione i link della mia prima risposta all'OP: si tratta del Teorema di Helmholtz. Ci vorrà un po' di tempo, ma provo a scriverti l'enunciato e la dimostrazione dell'unicità usando per quanto possibile le tue notazioni. Magari controlla perché potrei aver commesso qualche errore.

Teorema di Helmholtz Un vettore $\vec A $ è univocamente determinato specificandone, entro un volume chiuso $\Omega $, la divergenza $d$, il rotore $\vec B$ e la componente $A_{⊥}$ normale alla superficie $S$ che racchiude il volume $\Omega $.

Dimostrazione
Si assuma che le quantità $A_{⊥}$, $d$ e $\vec B$ siano assegnate:
$\nabla \times \vec A = \vec B$ e $\nabla \cdot \vec A = d $
Si assuma, inoltre, che esista un vettore $\vec C $ tale che $C_{⊥} = A_{⊥}$ e
$\nabla \times \vec C = \vec B$ e $\nabla \cdot \vec C = d $
Dimostreremo che $\vec W = \vec A − \vec C $ è identicamente nullo, cioè che $\vec C = \vec A$

Infatti, dalle equazioni appena scritte, il rotore e e la divergenza di $\vec W $ sono nulli, per cui esiste uno scalare $u$ il cui gradiente è uguale a $\vec W $ (il rotore di un gradiente è nullo) e il cui Laplaciano è nullo, cioè

$\vec W = \nabla u$ e $\nabla \cdot \vec W = \nabla \cdot \nabla u = \nabla^2 u = 0 $

Se si integrano sul volume chiuso $\Omega $ entrambi i membri dell’identità vettoriale

$\nabla \cdot (u \nabla u) = u \nabla^2 u + \nabla u \cdot \nabla u $

applicando il teorema della divergenza al termine al primo membro si ha:

$\int_S u \nabla u \cdot \text{d}\vec s = \int_{\Omega} (u \nabla^2 u) \text{d}V + \int_{\Omega} (\nabla u \cdot \nabla u) \text{d}V $

Visto che nel nostro caso $\nabla^2 u = 0 $, il primo integrale al secondo membro è nullo e l'equazione diventa la seguente:

$\int_S u \vec W \cdot \text{d}\vec s = \int_{\Omega} |\vec W|^2 \text{d}V $

Siccome si ha anche $\vec W \cdot \text{d}\vec s = W_{⊥} = A_{⊥} − C_{⊥} = 0$, allora si ha:

$\int_S u \vec W \cdot \text{d}\vec s = 0 $

Ma $|\vec W|^2 $ è una quantità non negativa per cui l’integrale di volume al secondo membro è nullo solo se $\vec W= \vec 0$, cioè solo se $\vec C = \vec A $. Pertanto $\vec A $ è unico.

Corollario Se il potenziale vettore $\vec A $ è scelto nullo all’infinito (spesso viene usata questa come ipotesi nel teorema di Helmholtz: $\lim_{|\vec r| \to +\infty} \vec A(\vec r, t) = 0 $), per il teorema di Helmholtz appena visto esso è univocamente determinato dal suo rotore e dalla sua divergenza.
Il rotore è già fissato dall’equazione $\nabla \times \vec A = \vec B $, perciò l’unica arbitrarietà riguarda la divergenza.
Fra le infinite possibili scelte quelle di particolare importanza sono quella di Coulomb $\nabla \cdot \vec A = 0 $ e quella di Lorentz $\nabla \cdot \vec A = - 1/c^2 (\del \varphi)/(\del t) $

[periodo_vettoriano]

Mi sa che non hai letto con attenzione i link della mia prima risposta all'OP

Ma sai che l'OP sono io? .


Grazie mille per la tua risposta, era proprio questo che non avevo ben capito e l'hai risolto magistralmente. Grazie mille per la tua gentilezza nell'aver scritto tutto il papiro.

Volevo chiederti un'ultima cosa e intanto mi tolgo dal disturbo, ma sapresti consigliarmi una lettura (libro) che tratti seriamente queste cose? Perché io su quello di E.M. non ho trovato la minima traccia se non quella cosa che ti avevo riportato a primo post del gauge ma non si capiva un tubero solo con quello. Dove hai appreso una trattazione così ben fatta? vorrei sturaci su su altre cose collegate se ci fossero.

[pilloeffe]

Ma sai che l'OP sono io? .

Beh, OP significa Original Poster ma anche Original Post: in questo caso chiaramente intendevo il secondo significato...

Grazie mille per la tua risposta, era proprio questo che non avevo ben capito e l'hai risolto magistralmente.

Prego!

Grazie mille per la tua gentilezza nell'aver scritto tutto il papiro.

Prego e scusami per averci messo un po', ma la scrittura del "papiro" ha richiesto un po' di tempo e di tranquillità che in precedenza non sono riuscito ad avere...

Volevo chiederti un'ultima cosa e intanto mi tolgo dal disturbo, ma sapresti consigliarmi una lettura (libro) che tratti seriamente queste cose?

Qui sono un po' in difficoltà, perché i libri che ho risalgono a più di un quarto di secolo fa, per cui adesso sono introvabili, e comunque molte di queste cose non ci sono. Non so se adesso esiste qualche testo più moderno dove siano reperibili. Ho trovato qualche informazione in Internet, più che altro su dispense di Fisica 3 ed altre sul teorema di Helmholtz in spagnolo, ma in effetti di libri non ne conosco, il che però non significa che non ce ne possano essere; magari potrei scriverne uno io...

[periodo_vettoriano]

Ammetto che non sono ferratissimo nel gergo forummistico, pensavo ignorantemente che OP fosse "opener" della discussione XD. Non so come io l'abbia dedotto, ma ne ero convinto.

e comunque molte di queste cose non ci sono

Eh si, ahimé su quelli fisici non lo vedo mai trattato, ma ne ho aperti molti andando in quelle pagine dove potevano esserci delucidazioni in merito e sempre lo risolvevano in poche fumose righe.

il che però non significa che non ce ne possano essere; magari potrei scriverne uno io...

Grazie per tutto, beh se mai lo facessi hai già un acquirente e lettore! Nel caso fammi un fischio!