Calcolo gradiente semplice

[gugo82]

Per comodità, scegliamo $r' = mathbf(0)$, tanto traslazione più, traslazione meno...

Vogliamo mostrare che, posto $rho=sqrt(x^2 + y^2 + z^2) = |vec(r)|$, risulta $(partial)/(\partial x) [1/rho] = - x/rho^3$ .
Posto:

$g(rho) := 1/rho$,

per derivazione della funzione composta abbiamo:

$(partial)/(\partial x) [g(rho)] = ("d" g)/("d"rho) * (partial rho)/(\partial x) = -1/rho^2 * (2x)/(2rho) = - x/rho^3$.

In generale, vale:

$nabla g(rho) = ("d" g)/("d" rho) * nabla rho = (g^'(rho))/rho * vec(r)$

con $nabla = nabla_(vec(r)) = ((partial )/(partial x), (partial )/(partial y), (partial )/(partial z))$ gradiente fatto rispetto alle tre coordinate "spaziali".

[pistacios]

Ok vista così funziona bene e credo che quindi il mio dubbio sia stupidissimo ma non riesco proprio ad arrivarci.

Ponendo $rho$ come da te fatto mi è chiaro che $rho=|vecr|$ modulo in senso vettoriale.
Quello che mi manda in pappa è che $(g(x))/(|g(x)|)(dg)/(dx)$ è la derivazione di una funzione composta, ma composta con un modulo in senso "numeri reali" (aka valore assoluto, dato che siamo in funzione di una variabile). Ed è qui che mi incasino perché la derivata di un valore assoluto è un conto e sappiamo bene essere $(g(x))/(|g(x)|)=(|g(x)|)/(g(x))$ che dir si voglia, mentre la derivazione che svolgo su rho rispetto ad x è una semplice derivazione di "radice" (rho a conti fatti è una radice, ossia il modulo di un vettore!).

Insomma, non riesco a vedere perché $(g(x))/(|g(x)|)(dg)/(dx)$ sia un aiuto utile perché a me sembra che lì dica di derivare un valore assoluto che io non vedo proprio da nessuna parte.

Metto in spoiler perché non aggiunge nulla, ma ripete la domanda in salsa diversa.

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Fin dall'inizio il mio dubbio è semplicemente questo, ma forse mi ero spiegato male prima, ripetendo in breve: da una parte ho un modulo di un vettore (senso vettoriale) però nel suggerimento dell'OP in pratica ho una derivazione di un valore assoluto (modulo in quel senso) ma sono due moduli diversi e non capisco cosa c'azzecchino. Vedendola invece con derivazione con rho come fai tu, rho visto come radice è ovvio e funziona la derivazione composta, ma non derivo un valore assoluto come sembra consigliare la formula indicata da OP.

Mi rendo conto di essermi bloccato su una cosa stupida, ma sono stupido .... però voglio capirla

[pistacios]

@gugo82, in attesa che passi a redarguirmi mi sono spiegato così il dubbio del mio ultimo post, secondo te potrebbe andare?

La mia idea si basa sul fatto che $sqrt(x^2)=|x|$. E in effetti dietro quella radice in tal modo si maschera la derivata della funzione composta "modulo" che tanto mi turbava:

$(d(sqrt(x^2)))/(dx)=1/2*(x^2)^(-1/2)*2x=x/sqrt(x^2)=x/|x|$, in effetti quella radice che è il "modulo di un vettore" poi si trasforma per il caso di "una variabile" in un x^2 sotto radice che è un "modulo nel senso di valore assoluto in R" (la cosa che mi turbava). Quindi è vero, alla fine basta fare una derivata composta di quello che è un valore assoluto per queste ragioni esposte. Potrebbe andare bene come risposta ai miei dubbi? Io mi sono risposto così

Grazie per la tua gentile pazienza e aiuto!