Discutere il carattere della serie $\sum_{n = 1}^{\infty} cos(sin(1/n)) - \frac{n}{n+1}$

[CosenTheta]

Pongo $a_n = cos(sin(1/n)) - \frac{n}{n+1}$.
Essendo $sin(1/n) ~ 1/n$ per $n -> \infty$, posso dire che $\sum_{n = 1}^{\infty} a_n ~ \sum_{n = 1}^{\infty} cos(1/n) - \frac{n}{n+1}$ e inoltre

$lim_{n -> \infty} a_n = lim_{n -> \infty} cos(1/n) - \frac{n}{n+1} = 0$.

Scrivendo il coseno come $cos(1/n) = 1 - 1/(2n^2) + o(1/n^2)$ ed applicando il criterio del confronto asintotico con la serie armonica divergente $\sum_{n = 1}^{\infty} 1/n$, scrivo

$lim_{n -> \infty} \frac{cos(1/n) - \frac{n}{n+1}}{1/n} = lim_{n -> \infty} \frac{1 - 1/(2n^2) - \frac{n}{n+1} + o(1/n^2)}{1/n} = lim_{n -> \infty} \frac{2n^2 - n - 1}{2n^2 + 2n} + o(1/n) = 1$

dunque la serie iniziale diverge. E' corretto?

[Mephlip]

Per usare il criterio del confronto asintotico, devi dimostrare che $a_n$ ha segno costante (almeno definitivamente): se ciò è vero, il resto che hai scritto va bene e quindi puoi concludere la divergenza della serie.

[CosenTheta]

In definitiva, sto studiando la serie $\sum_{n = 1}^{\infty} cos(1/n) - \frac{n}{n+1} $. L'unica cosa che mi viene in mente è maggiorare e minorare il termine generale come segue:

$cos(1/n) - n/(n+1) \leq 1 - n/(n+1) = 1/n$
$cos(1/n) - n/(n+1) \geq -1 - n/(n+1) = - (2n+1)/(n+1)$

basta per dire che esiste un certo $n_0$ a partire dal quale il termine generale passa dalle quantità negative alle positive?

[pilloeffe]

Ciao CosenTheta,

Come è già stato mostrato in questo thread, $\AA n \ge 1 $ si ha $cos(1/n) > 1/2 $, sicché $\AA n \ge 1 $ si ha:

$cos(1/n) - n/(n + 1) > 0 $

[CosenTheta]

Che risultasse $ cos(1/n) > 1/2 $ lo sapevo, però non capisco perché dovrebbe implicare che $ cos(1/n) - n/(n + 1) > 0 $.

Mi spiego: il termine $cos(1/n)$, che è il minuendo di quella differenza, è crescente (lo si può vedere semplicemente disegnandolo sulla circonferenza goniometrica) e va da cos(1) che è circa $0.54$ e arriva ad $1$ all'infinito. Tuttavia, anche il sottraendo $\frac{n}{n+1}$ si comporta in modo simile, partendo da esattamente $1/2$ fino ad arrivare ad $1$ all'infinito.

Per i primi $n$ la differenza sembra essere positiva

$n = 1 -> 0.54 - 0.5 = 0.04$
$n = 2 -> 0.87 - 2/3 = 0.20$
$n = 3 -> 0.94 - 3/4 = 0.19$

tuttavia come faccio ad esser sicuro che questo andamento sul segno si mantenga per ogni altro $n$?

[pilloeffe]

Prova a studiare la funzione $f(x) := cos(1/x) - x/(x + 1) $ per $x \ge 1 $

[CosenTheta]

Sto provando a svolgere questo studio di funzione ma compaiono tutte equazioni e disequazioni che non riesco a svolgere.

La funzione non è definita in $-1$ e $0$ che sono escluse dall'intervallo di studio, dunque qui la funzione è tutta continua; inoltre, non ha senso considerare intersezioni con l'asse y.

Volendo individuare intersezioni con l'asse x devo imporre

$cos(1/x) - x/(x+1) = 0$

$((x+1)cos(1/x) - x)/(x + 1) = 0$

$(x+1)cos(1/x) - x = 0$

ma arrivato a questo punto come posso continuare? Stesso dicasi per lo studio della derivata prima

$sin(1/x)(1/(x^2)) - 1/((x+1)^2) > 0$

[pilloeffe]

Beh, si ha:

$f(1) = cos(1) - 1/2 = 0,04 $

Quindi la funzione interseca l'asse $x$ in un punto minore di $1$, ma molto vicino a $1$.
D'altronde una volta attraversato l'asse $x$ (che è un asintoto orizzontale per la funzione in quanto $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0 $), in $x = 2$ la funzione assume un valore vicino al massimo, perché poi in $x = 3 $ cala e per i valori successivi si avvicina all'asintoto orizzontale $y = 0 $ (equazione dell'asse $x$) restando però sempre positiva.
Per $x \ge 1 $ la situazione è la seguente:

https://www.wolframalpha.com/input?i=ex ... x+%3E%3D+1

[Noodles]

@ CosenTheta

Poichè:

$n rarr +oo$

$cos[sin(1/n)]-n/(n+1)=$

$=cos[1/n+o(1/n)]-1+1/(n+1)=$

$=1-1/(2n^2)+o(1/n^2)-1+1/n+o(1/n)=$

$=1/n+o(1/n)$

e poichè:

$AA n in NN: 1/n gt 0$

per il teorema della permanenza del segno la serie non può che essere a termini definitivamente positivi. Più formalmente:

$cos[sin(1/n)]-n/(n+1)=1/n+o(1/n) rarr$

$rarr lim_(n->+oo)(cos[sin(1/n)]-n/(n+1))/(1/n)=1 rarr$

$rarr AA \epsilon in RR^+ EE n_\epsilon in NN: n gt n_\epsilon rarr 1-\epsilon lt (cos[sin(1/n)]-n/(n+1))/(1/n) lt 1+\epsilon$

Insomma, basta e avanza considerare:

$1- \epsilon gt 0 rarr$

$rarr \epsilon lt 1$

Tra l'altro, si tratta di un risultato del tutto generale. Quando:

$n rarr +oo$

$a_n~~1/n^\alpha$

la serie non può che essere a termini definitivamente positivi:

$lim_(n->+oo)a_n/(1/n^\alpha)=l gt 0$

o definitivamente negativi:

$lim_(n->+oo)a_n/(1/n^\alpha)=l lt 0$

[pilloeffe]

@CosenTheta

Ora che ci penso anche così:

$cos(1/n) - n/(n + 1) = cos(1/n) - (n + 1 - 1)/(n + 1) = cos(1/n) - 1 + 1/(n + 1) = $
$ = 1/(n + 1) - [1 - cos(1/n)] > 1/(n + 1) - 1/(2n^2) = (2n^2 - n - 1)/(2n^2(n + 1)) = ((2n + 1)(n - 1))/(2n^2(n + 1)) $

ove si è sfruttata la disuguaglianza $ 1 - cos(x) < x^2/2 $ con $x := 1/n $, che è vera $\forall n \in \NN $ e l'ultima frazione scritta è positiva $\forall n > 1 $, ma questo non è certo un problema perché per $n = 1 $ si sa già che cosa accade, quindi...