Sviluppo di Taylor

[mona312]

Ciao a tutti. Non riesco a capire come svolgere uno sviluppo di Taylor di questo tipo:
f(x) = ( senx)^2 , n=6 . Ho provato ad usare la regola che applico di solito, ovvero usare la formula della funzione seno : senx = x-(x^3/6)+(x^5/5!)…. Ma non mi risulta. Qualcuno può darmi una mano ? Grazie!

[Mephlip]

Hai considerato il fatto che il quadrato fa comparire dei termini di grado $6$ anche nei doppi prodotti (ad esempio, nel prodotto del termine di quinto grado $\frac{x^5}{5!}$ con quello di primo $x$)?

[pilloeffe]

Ciao mona312,

Nel caso proposto è più conveniente fare uso della formula dello sviluppo in serie:

$f(x) = \sum_{n = 0}^{+\infty}f^{(n)}(x_0)/(n!) (x - x_0)^n $

Basta trovare tutte le derivate fino a $n = 6$ e poi calcolarle in $x_0 = 0 $:

$f(x) = sin^2 x \implies f^{(0)}(0) = 0 $
$f^{(1)}(x) = 2 sin x cos x = sin(2x) \implies f^{(1)}(0) = 0 $
$f^{(2)}(x) = 2 cos(2x) \implies f^{(2)}(0) = 2 $
$f^{(3)}(x) = - 4 sin(2x) \implies f^{(3)}(0) = 0 $
$f^{(4)}(x) = - 8 cos(2x) \implies f^{(4)}(0) = - 8 $
$f^{(5)}(x) = 16 sin(2x) \implies f^{(5)}(0) = 0 $
$f^{(6)}(x) = 32cos(2x) \implies f^{(6)}(0) = 32 $

Sicché si ha:

$f(x) = sin^2x = x^2 - x^4/3 + 2/45 x^6 + o(x^8)$

[mona312]

Ok, grazie mille!