Cosa sono le forme differenziali

[Martyyyns]

Salve, sto studiando analisi 2, forse si tratta di una domanda banale, ma non riesco a capire cosa rappresentino le forme differenziali. Qualcuno potrebbe spiegarmelo?

[pilloeffe]

Ciao Martyyyns,

Potresti cominciare da qui: https://it.wikipedia.org/wiki/Forma_differenziale

Negli External links della versione in inglese https://en.wikipedia.org/wiki/Differential_form ho trovato questo testo di un corso insegnato alla Cornell University:
http://pi.math.cornell.edu/~sjamaar/manifolds/manifold.pdf

[gabriella127]

Salve, sto studiando analisi 2... cosa rappresentino le forme differenziali

Ma cosa hai fatto delle forme differenziali in analisi 2? Dovresti specificare meglio qual è la difficoltà, che intendi con "cosa rappresentino" (seccature sicuramente ).

In genere in analisi 2 si fanno solo le forme differenziali di grado 1, le cosiddette 1-forme, non si fa tutto l'ambaradan delle forme differenziali.

Una forma differenziale di grado 1 o 1-forma è una applicazione da $\mathbb{R}^n$ al duale di $\mathbb{R}^n$.

Non so che libro usi, ma ad esempio il Giusti Analisi 2 dice:

Definizione Sia $A$ un aperto di $\mathbb{R}^n$. Una forma differenziale $\omega$ in $A$ è una applicazione di $A$ in $(\mathbb{R}^n)^*$ :¹

$$\omega: A\rightarrow (\mathbb{R}^n)^*.$$

Dove $$ (\mathbb{R}^n)^*$$ è il duale di $\mathbb{R}^n$.

Per $x\in A$, $\omega(x)$ è un elemento del duale di $\mathbb{R}^n$, un funzionale lineare, ossia per ogni $x$ in $A$ hai un funzionale lineare.

Il duale di uno spazio vettoriale $V$ dovresti averlo fatto in algebra lineare, è lo spazio di tutte le forme o funzionali lineari da $V$ a $\mathbb{R}$ (non so che corso di laurea fai, se il duale non lo hai ancora fatto non ti spaventare).

Poi uno in genere le 1-forme le si vede scritte come una somma, poiché si può sempre scrivere nella forma

$$\omega (x)= \omega_1(x) dx_1+...+\omega_n(x) dx_n$$

per opportune funzioni $\omega_j(x) : A \rightarrow \mathbb{R}$, dette i coefficienti della forma, e dove $d_1,...,dx_n$ è la base canonica del duale di $\mathbb{R}^n$.

Mi ricordo che il professore di analisi ci disse informalmente, per farcelo entrare in zucca, "una forma differenziale è una combinazione lineare a coefficienti variabili" (ma non dirlo all'esame).

Una 1-forma dovresti già averla vista, il differenziale di una funzione di più variabili.

---

Note

1. Scusate, come apice c'è una star * non il puntino, ma per motivi misteriosi non riesco a mettre una star a meno che non metto il doppio segno di dollaro, boh. ↑

[Martyyyns]

Ciao Martyyyns,

Potresti cominciare da qui: https://it.wikipedia.org/wiki/Forma_differenziale

Negli External links della versione in inglese https://en.wikipedia.org/wiki/Differential_form ho trovato questo testo di un corso insegnato alla Cornell University:
http://pi.math.cornell.edu/~sjamaar/manifolds/manifold.pdf

Grazie, è stato utilissimo

[Martyyyns]

Salve, sto studiando analisi 2... cosa rappresentino le forme differenziali

Definizione Sia $A$ un aperto di $\mathbb{R^n}$. Una forma differenziale $\omega$ in $A$ è una applicazione di $A$ in $(\mathbb{R^n})^*$ :¹

$$\omega:\rightarrow (\mathbb{R^n})^*.$$

Dove $$ (\mathbb{R^n})^*$$ è il duale di $\mathbb{R^n}$.

Per $x\in A$, $\omega(x)$ è un elemento del duale di $\mathbb{R^n}$, un funzionale lineare, ossia per ogni $x$ in $A$ hai un funzionale lineare.

Il duale di uno spazio vettoriale $V$ dovresti averlo fatto in algebra lineare, è lo spazio di tutte le forme o funzionali lineari da $V$ a $\mathbb{R}$ (non so che corso di laurea fai, se il duale non lo hai ancora fatto non ti spaventare).

Poi uno in genere le 1-forme le si vede scritte come una somma, poiché si può sempre scrivere nella forma

$$\omega (x)= \omega_1(x) dx_1+...+\omega_n(x) dx_n$$

per opportune funzioni $\omega_j(x) : A \rightarrow \mathbb{R}$, dette i coefficienti della forma, e dove $d_1,...,dx_n$ è la base canonica del duale di $\mathbb{R^n}$.

Mi ricordo che il professore di analisi ci disse informalmente, per farcelo entrare in zucca, "una forma differenziale è una combinazione lineare a coefficienti variabili" (ma non dirlo all'esame).

Una 1-forma dovresti già averla vista, il differenziale di una funzione di più variabili.

Studio ingegneria. Ho fatto algebra lineare ma non il duale dello spazio vettoriale. Ad ogni modo quello che sto studiando in analisi è abbastanza pratico: il flusso del campo vettoriale, la divergenza, il rotore, e in tutta questa applicabilità non riesco a figurarmi cosa sia una forma differenziale. That's all.

---

Note

1. Scusate, come apice c'è una star * non il puntino, ma per motivi misteriosi non riesco a mettre una star a meno che non metto il doppio segno di dollaro, boh. ↑

[pilloeffe]

Grazie, è stato utilissimo

Prego.

Ti chiederei però la cortesia di non rispondere ai post col pulsante "CITA, ma col pulsante RISPONDI che trovi in fondo alla pagina. Questo perché raramente è necessario citare tutto il messaggio di chi ti ha risposto e anzi così facendo si appesantisce inutilmente la lettura del thread. Comunque tranquillo, all'inizio della frequentazione del forum ci siamo cascati tutti, sottoscritto incluso...

[gabriella127]

Studio ingegneria. Ho fatto algebra lineare ma non il duale dello spazio vettoriale. Ad ogni modo quello che sto studiando in analisi è abbastanza pratico: il flusso del campo vettoriale, la divergenza, il rotore, e in tutta questa applicabilità non riesco a figurarmi cosa sia una forma differenziale. That's all.

Ok, quindi le forme differenziali non le hai definite usando il duale, ma credo direttamente come una somma.

[megas_archon]

Scusate, come apice c'è una star * non il puntino, ma per motivi misteriosi non riesco a mettre una star a meno che non metto il doppio segno di dollaro, boh.

I "motivi misteriosi": la sintassi TeX viene da sempre renderata in modo strano su questo sito (perché *mente usa un intruglio mefitico di MathJax e AsciiMathML: tra dollari quest'ultimo, e tra le vecchie \( e \)il "vero" TeX); l'altro problema (correlato) è che il displaymath in sintassi TeX vera si rende con \[...\] e non coi doppi dollari.

Ci sono poi un casino di errori in quel che hai scritto:

- non \(\omega :\to (\mathbb{R}^n)^*\), ma \(\omega : A \to (\mathbb{R}^n)^*\)
- non \(\mathbb{R^n}\), ma \(\mathbb R^n\) (questo è sbagliato semanticamente, perché \mathbb è un modificatore che agisce su "R", non sul suo apice, e rende la "n" in maniera diversa dal solito)

Venendo alla matematica: i capitoli 2 e 3 di Bishop e Goldberg sono tutto quello che ti serve (e riguardo alla difficoltà, la Dover fa libri a livello degli ingegneri, basta guardare quanto siano sciatte le copertine): https://charmille.art/books/Tensor_Anal ... ifolds.pdf

Una forma differenziale non è nient'altro che una funzione con certe proprietà, la più importante delle quali è che mangia un certo numero di vettori e sputa un numero reale, proporzionale al volume che questi vettori individuano. Una 1-forma mangia un vettore; una 2-forma ne mangia due, e così via. Il determinante è una $n$-forma, dato che mangia $n$ vettori (le colonne di una matrice $M$) e vomita un profumato scalare che è l'area dell'$n$-cubo di lato 1, a cui sia stata applicata la matrice $M$ in questione.

Tutto il resto è gergo matematico per dire questa cosa in modo preciso e studiarne le conseguenze. L'ulteriore generalizzazione di cui ti hanno già parlato è alla situazione in cui, invece di mangiare una $k$-upla di vettori, la tua forma differenziale mangia una funzione che ad un punto $p$ di una varietà $X$ associa una $k$-upla di vettori (pensati "tangenti a $X$ in $p$").

[gabriella127]

Grazie, correggo, è che sono impazzita con quella star.
Mo', vabbe', un 'casino di errori' mi sembra un'esagerazione
Varie cose che altrove vengono bene in LateX, qui non vanno.

Per le forme differenziali, non so a chi ti rivolgi, non servono a me, ma all'OP.
Io mi sono limitata a ripetere quello che in genere si dice delle forme differenziali ad Analisi 2, almeno a matematica.
Ma forse ti rivolgevi all'OP.

( E basta con questi riferimenti svalutanti agli ingegneri, eh? Se non fosse per gli ingegneri ora staresti in una capanna di fango a scrivere su tavolette di argilla, altro che TeX. )

Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.

Le copertine di Dover non sono sciatte, sono retró, anzi con la moda grafica attuale fanno anche fino.
Quasi da suprematismo o costruttivismo russo, che è tornato di moda (almeno lo era, non so se ora è in disgrazia).
Guarda quanto sono brutte alcune della Springer, che non fanno nemmeno retró, ma solo bruttezza:
https://www.amazon.it/Problems-Equilibr ... 192&sr=8-1
https://www.amazon.it/Axiom-Choice-Hors ... 171&sr=8-1

[megas_archon]

Ma forse ti rivolgevi all'OP.

Sì.

( E basta con questi riferimenti svalutanti agli ingegneri, eh?

Non hai nemmeno la più pallida idea di quanto fosse più brutale la versione che ho scritto di getto, ma non postato.

Se non fosse per gli ingegneri ora staresti in una capanna di fango a scrivere su tavolette di argilla, altro che TeX. )

TeX lo ha inventato un matematico, proprio perché si era rotto i coglioni ed è una pira in fiamme di pratiche molto antiche, ma come tutti gli esolang è un ottimo modo di asserire dominanza sull'interlocutore. Esattamente come la matematica.

Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.

Le copertine di Dover non sono sciatte, sono retró, anzi con la moda grafica attuale fanno anche fino.
Quasi da suprematismo o costruttivismo russo, che è tornato di moda (almeno lo era, non so se ora è in disgrazia).
Guarda quanto sono brutte alcune della Springer, che non fanno nemmeno retró, ma solo bruttezza:
https://www.amazon.it/Problems-Equilibr ... 192&sr=8-1
https://www.amazon.it/Axiom-Choice-Hors ... 171&sr=8-1

La prima è effettivamente orrenda, la seconda è uno Springer standard...