Domanda sulle derivate

[Mephlip]

Perché ti sconcerta che sparisca $x_0$? Significa semplicemente che il coefficiente angolare è indipendente dal punto in cui vuoi determinare la retta tangente al grafico della funzione. Ad esempio, la bisettrice del I° e III° quadrante ha coefficiente angolare costantemente $1$ e, infatti, in ogni punto essa coincide con la sua tangente e perciò non potrà mai avere coefficiente angolare variabile. Tautologicamente, possiamo riassumere dicendo: "Le cose variano se variano, altrimenti non variano".

[pilloeffe]

ma da definizione è $x_0$, quindi dove esce fuori $x$, perché si può fare ciò?

Beh, perché puoi sempre porre $x := x_0 + h \implies h = x - x_0 $ ed infatti la derivata si può anche definire nella forma seguente:

$f'(x_0) := \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} $

[gabriella127]

quindi quando vedo scritto \(\displaystyle 2x \) è sempre sottinteso \(\displaystyle 2x_0 \) ?

Mi sa che devi distinguere tra derivata in un punto, es. $x_0$, e derivata come funzione , che in genere si chiama tout court derivata della funzione (senza specificare in quale punto).

La derivata in un punto è un numero, il limite del rapporto incrementale in quel punto.
La derivata come funzione è, come dice il nome , una funzione, che associa a ogni punto del dominio della funzione di partenza la sua derivata-numero (se esiste, ovviamente).

Nel caso $f(x)= x^2$, la derivata in un punto, ad es. $x_0=2$, è $4$.
La derivata come funzione (che si usa chiamare derivata e basta) è $f'(x)=2x$.

Se $f'(x)$ è la funzione-derivata di $f(x)$, la derivata di $f(x)$ in un punto $x_0$ è $f'(x_0)$.

Guarda ad esempio questa scheda del dipartimento di matematica di Genova:

http://macosa.dima.unige.it/ssis/MD/Der ... er&Der.htm