Domanda sulle derivate

[DR1]

buongiorno,
se la derivata rappresenta il valore del coefficiente angolare della retta tangente, come mai esempio, nel derivare x^2 2x graficamente non è tangente a nulla ?

[sellacollesella]

Se esiste finito il limite del rapporto incrementale: \[
f'(x_0) := \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}
\] la retta tangente al grafico di \(y = f(x)\) nel punto \((x_0,f(x_0))\) ha equazione cartesiana: \[
y - f(x_0) = f'(x_0)\,(x-x_0).
\]
Pertanto, nel caso particolare in cui sia \(f(x) = x^2\), otteniamo: \[
f'(x_0) := \lim_{h \to 0} \frac{(x_0+h)^2-x_0^2}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h\,(2x_0+h)}{h} = 2x_0
\] ossia la retta tangente al grafico di \(y = x^2\) nel punto \((x_0,x_0^2)\) ha equazione cartesiana: \[
y-x_0^2 = 2x_0(x-x_0)
\quad \quad \Rightarrow \quad \quad
y = 2x_0\,x-x_0^2.
\]

[DR1]

quindi 2x è la derivata nel punto ?!

[sellacollesella]

Come hai giustamente scritto nel tuo primo messaggio, la derivata di una funzione (ammesso esista finita) corrisponde al coefficiente angolare della retta tangente al grafico della funzione. Pertanto, dato che da \(y = x^2\) segue \(y'=2x\) significa che in un punto \((x_0,x_0^2)\) la retta tangente ha coefficiente angolare \(2x_0\). Se poi a te serve l'equazione cartesiana della retta tangente, allora si ha \(y-x_0^2=2x_0(x-x_0)\) come sopra.

[pilloeffe]

quindi 2x è la derivata nel punto ?!

Nel generico punto $x \in \RR $, dato che la funzione $y = x^2$ ha dominio naturale $D =\RR$

Per vederlo basta che scrivi $x$ al posto di $x_0 $ nell'ottima prima risposta che ti ha già dato sellacollesella, il ragionamento è lo stesso...

[DR1]

quindi quando vedo scritto \(\displaystyle 2x \) è sempre sottinteso \(\displaystyle 2x_0 \) ?

[sellacollesella]

Se tutto ciò ti pare strano allora possiamo fare un gioco, seppur non del tutto ortodosso.

Traccia il grafico di una generica funzione di legge \(y = f(x)\) ed evidenza due punti distinti: \[
P(x_0,f(x_0)),
\quad \quad \quad
Q(x_0+h,f(x_0+h)).
\] Quindi, scrivi l'equazione cartesiana della retta secante passante per i punti \(P\) e \(Q\): \[
y - f(x_0) = \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\,(x-x_0)
\] dove il coefficiente angolare di tale retta si dice rapporto incrementale di \(f\) in \(x_0\).

Ora comincia a giocare e pian pianino avvicina \(Q\) a \(P\) fino al limite: \[
\lim_{h \to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}
\] che se esiste finito lo si battezza come derivata di \(f\) in \(x_0\) e lo si denota con \(f'(x_0)\).

Bene, la retta ottenuta è tangente il grafico di \(f\) in \(P\) e \(f'(x_0)\) è il suo coefficiente angolare.

[pilloeffe]

quindi quando vedo scritto $2x$ è sempre sottinteso $2x_0$ ?

No, quando vedi scritto $f'(x) = 2x $ significa che quella è la derivata nel generico punto $x \in \RR $: se poi vuoi sapere qual è la derivata nello specifico punto $x_0 $ scriverai $f'(x_0) = 2x_0 $

[DR1]

tutto chiaro, quello che mi sconcerta è che nei risultati delle derivate a volte x_0 sembra sparire.

[DR1]

No, quando vedi scritto $f'(x) = 2x $ significa che quella è la derivata nel generico punto $x \in \RR $: se poi vuoi sapere qual è la derivata nello specifico punto $x_0 $ scriverai $f'(x_0) = 2x_0 $

ma da definizione è x_0, quindi dove esce fuori x, perchè si puo fare cio ?