Determinare il carattere della serie $\sum_{n = 1}^{\infty} ((nlog(n))/(n^2 + 1))^2$

[CosenTheta]

Il termine generale è banalmente a termini positivi.

Ho pensato di iniziare per maggiorazioni. $\forall n$ naturale si ha che:

$(n^2 log^2(n))/(n^4 + 2n^2 + 1) < (n^2 log^2(n))/(n^4 + 2n^2) = (log^2(n))/(n^2 + 2)$

Ora, poiché $\forall n$ naturale si ha che $\alpha log(n) < n^\alpha, \alpha > 0$, se scelgo $\alpha = 1/4$ posso dire che

$log(n) < 4n^(1/4)$

quindi, elevando ambo i membri (positivi) al quadrato

$log^2(n) < 16n^(1/2)$

posso continuare la maggiorazione così

$(log^2(n))/(n^2 + 2) < (16n^(1/2))/(n^2 + 2)$.

A questo punto confronto il termine $a_n = (16n^(1/2))/(n^2 + 2)$ con il termine $b_n = 1/n^(3/2)$: il limite $\lim_{n->\infty} a_n/b_n = 16$ e dunque le serie associate hanno lo stesso carattere. Essendo quella per il termine $b_n$ convergente, lo è anche quella per il termine $a_n$ che maggiora la serie di partenza, la quale risulta dunque anch'essa convergente.

Corretto?

[pilloeffe]

Ciao CoseTheta,

Sì è corretto, ma l'hai fatta un po' lunga:

$\sum_{n = 1}^{\infty} ((nlog(n))/(n^2 + 1))^2 < \sum_{n = 1}^{\infty} ((nlog(n))/n^2)^2 = \sum_{n = 1}^{\infty} (log^2(n))/n^2 < \sum_{n = 1}^{\infty} (16\sqrtn)/n^2 = 16 \sum_{n = 1}^{\infty} 1/n^{3/2} < +\infty $

[CosenTheta]

Sì, avrei potuto essere più breve. Grazie.