Il termine generale è banalmente a termini positivi.
Ho pensato di iniziare per maggiorazioni. $\forall n$ naturale si ha che:
$(n^2 log^2(n))/(n^4 + 2n^2 + 1) < (n^2 log^2(n))/(n^4 + 2n^2) = (log^2(n))/(n^2 + 2)$
Ora, poiché $\forall n$ naturale si ha che $\alpha log(n) < n^\alpha, \alpha > 0$, se scelgo $\alpha = 1/4$ posso dire che
$log(n) < 4n^(1/4)$
quindi, elevando ambo i membri (positivi) al quadrato
$log^2(n) < 16n^(1/2)$
posso continuare la maggiorazione così
$(log^2(n))/(n^2 + 2) < (16n^(1/2))/(n^2 + 2)$.
A questo punto confronto il termine $a_n = (16n^(1/2))/(n^2 + 2)$ con il termine $b_n = 1/n^(3/2)$: il limite $\lim_{n->\infty} a_n/b_n = 16$ e dunque le serie associate hanno lo stesso carattere. Essendo quella per il termine $b_n$ convergente, lo è anche quella per il termine $a_n$ che maggiora la serie di partenza, la quale risulta dunque anch'essa convergente.
Corretto?