Limite dello sviluppo in serie di Taylor di $exp(-n)$

[Cannone Speciale]

Volvevo aggiungere che lo sviluppo di Taylor dell'esponenziale è
$ e^-x = 1-x+x^2+o(x^2) $ che vale per $ x ->0 $
l'o-piccolo ti dice di quanto stai sbagliando con la tua approssimazione,
mentre se scrivi l'esponenziale come serie allora l'errore io non so qual è, probabilmente si può calcolare, comunque sicuramente non è quello che hai scritto tu, infatti l'errore nel tuo caso sarebbe dato da:
$ Err(n) = e^-n -1+n-n^2 $
che applicando la definizione di o-piccolo non tende a zero se si divide per $n^2$ e neanche nel caso n vada a infinito (in quel caso $Err=-oo$)

[Mephlip]

@Cannone Speciale: La serie di Taylor dell'esponenziale è la funzione esponenziale, non commetti alcun errore. Anzi, un possibile modo di definire le funzioni elementari è proprio quello di definirle tramite serie di potenze.

[Cannone Speciale]

si lo so, forse non mi sono spiegato bene, volevo dire che l'o-piccolo dice quanto vale l'errore se tronchiamo lo sviluppo a un certo punto, lo so che nel caso di funzioni analitiche lo sviluppo di Taylor coincide con la funzione stessa

[Mephlip]

Sì, non era espresso bene perché hai scritto esplicitamente "serie" e quindi si sottintende che non si sta parlando di polinomio di Taylor di un certo grado $n$ fissato.

volevo dire che l'o-piccolo dice quanto vale l'errore se tronchiamo lo sviluppo a un certo punto

Il resto di Peano non ti dice "quanto vale l'errore", ti dice "come l'errore tende a $0$ quando $x \to x_0$" con $x_0$ punto in cui si sta centrando lo sviluppo. Due delle possibili forme di errore nel contesto degli sviluppi di Taylor, $\text{o}$-piccolo e Lagrange, differiscono proprio perché il primo è un errore "qualitativo" mentre il secondo è un errore "quantitativo".

[Cannone Speciale]

si grazie ne ero al corrente, ma era per non scrivere troppo