Limite dello sviluppo in serie di Taylor di $exp(-n)$

[CosenTheta]

Mentre scrivevo lo sviluppo in serie di Taylor di $exp(-n)$ mi è sorto un dubbio.

Ricordando che

$exp(x) = 1 + x + x^2/2 + o(x^2)$

vale $\forall x$ reale, allora ponendo

$x := -n$

ottengo

$exp(-n) = 1 - n + n^2/2 + o(n^2)$.

Il limite all'infinito di $exp(-n)$ è chiaramente $0$, ma se svolgo il limite dello sviluppo, ovvero

$\lim_{n->\infty} 1 - n + n^2/2 + o(n^2)$

per la gerarchia degli infiniti il termine al quadrato è dominante e quindi il limite è $+\infty$.
In generale, aggiungendo altri termini dello sviluppo, ottengo infiniti che si aggiungono e sottraggono.

Magari è una sciocchezza, ma cosa mi sfugge?

[pilloeffe]

Ciao CosenTheta,

Posso chiederti a cosa ti serve?

Perché non ti serve proprio se "per caso" devi risolvere una delle serie seguenti:

$\sum_{n = 0}^{+\infty} e^-n = \sum_{n = 0}^{+\infty} (e^-1)^n = 1/(1 - e^{-1}) = e/(e - 1) $

$\sum_{n = 1}^{+\infty} e^-n = \sum_{n = 1}^{+\infty} (e^-1)^n = (\sum_{n = 0}^{+\infty} e^-n) - 1 = e/(e - 1) - 1 = 1/(e - 1) $

[CosenTheta]

Posso chiederti a cosa ti serve?

Assolutamente. Stavo tentando di studiare la serie

$\sum_{n = 1}^{\infty} exp(-n) + exp(n^(-2)) - 1$.

che immagino io possa ricondurla, usando il tuo suggerimento, alla somma seguente

$\sum_{n = 1}^{\infty} exp(-n)$ $+ sum_{n = 1}^{\infty}exp(n^(-2)) - 1$.

e studiare solo il secondo addendo. Corretto?

[pilloeffe]

No...
Casomai così:

$\sum_{n = 1}^{+\infty} [exp(-n) + exp(n^(-2)) - 1] = \sum_{n = 1}^{+\infty} exp(-n) + \sum_{n = 1}^{+\infty} [exp(n^-2) - 1] $

[CosenTheta]

Proprio così, intendevo $exp(n^(-2)) - 1$ come un unico termine generale della seconda sommatoria.

Ti ringrazio del suggerimento.

Tuttavia, la mia curiosità resta.

Perché i due limiti

$\lim_{n->\infty} exp(-n)$
$\lim_{n->\infty} 1 - n + n^2/2 + o(n^2)$

sembrano non fornire lo stesso risultato?

[gabriella127]

Ma perché, mi pare, stai considerando due funzioni diverse senza accorgertene!

Una cosa è $e^x$ per $x<0$, un'altra cosa è la funzione $e^{-x}$.

Lo sviluppo in serie che hai fatto è quello di $e^x$, mentre il limite che calcoli è il limite di $e^{-x}$.
Con lo sviluppo in serie, se $x$ è negativo, stai approssimando la funzione $e^x$ in punti in cui $x$ è negativo, non stai prendendo la funzione $e^{-x}$

[CosenTheta]

Lo sviluppo in serie che hai fatto è quello di $e^x$

Lo sviluppo della funzione $e^(-x) = 1/e^x$ mi risulta essere pari a $1 - x + x^2/2 - x^3/6 + o(x^3)$, come risulta anche da questo elenco

https://www.math.it/formulario/sviluppiMcLaurin.htm

Fin qui è corretto?

[gabriella127]

Sì, hai ragione, è lo sviluppo di $e^{-x}$.

Allora, io direi questo: quello è lo sviluppo di Taylor intorno a zero di $e^{-x}$ con un polinomio di secondo grado, è l'approssimazione di $e^{-x}$ con una parabola intorno a $0$.
Se vai a vedere, intorno a $0$ approssima bene, ha derivata negativa, ma appunto è un fatto locale, poi la parabola, per così dire, se ne va per conto suo, quando fai andare $x$ a infinito non è più una 'buona' approssimazione di $e^{-x}$.
Intendo dire, non è affatto detto che il polinomio approssimante e la funzione approssimata abbiano lo stesso limite, considera ad esempio l'approssimazione di primo grado, è una retta che se ne va a $-\infty$.

[CosenTheta]

Grazie.

[gabriella127]

Figurati, grazie a te per avere osservato questa cosa, anche io sono rimasta un momento perplessa, non ci avevo pensato.