Sviluppo di Taylor

[mona312]

Ciao a tutti, ho svolto questo sviluppo di Taylor
f(x) = ^5\surd (1-5x^2+x^4) , n=4 . L’ho svolto con la formula di Taylor, ma é un’operazione molto lunga e mi chiedevo se si potesse risolvere riconducendosi agli sviluppi di funzioni elementari o in altri modi.
Grazie in anticipo!



** non so se la funzione é scritta correttamente, sarebbe: radice quinta di (1-5x^2+x^4).

[pilloeffe]

Ciao mona312,

Si scrive così:

$\root[5]{1-5x^2+x^4} = (1 + x^4 - 5x^2)^{1/5} = (1 + t)^{\alpha}$

Codice:

$\root[5]{1-5x^2+x^4} = (1 + x^4 - 5x^2)^{1/5} = (1 + t)^{\alpha}$


Con ovvia definizione di $t$ e $\alpha$

[mona312]

Ero arrivata a questo punto: x^2=t => t^2 -5t +1 , però non riesco a scriverlo nella forma (1 + t)^alfa. Come posso procedere?

[CosenTheta]

Se confronti i due membri dell'uguaglianza scritta da pilloeffe

$(1 + x^4 - 5x^2)^{1/5} = (1 + t)^{\alpha} $

credo che lui intendesse dire che risulta naturale porre $t = x^4 - 5x^2$ e $\alpha = 1/5$.

Di conseguenza, ricordando lo sviluppo seguente

$(1 + t)^\alpha = 1 + \alpha t + o(t)$ per $|t| < 1$

sostituendo $t$ ed $\alpha$ che ti ho indicato dovresti ottenere lo sviluppo cercato.

Attendiamo sua conferma.

[pilloeffe]

Sì beh, l'idea era quella, però bisogna stare attenti e andare un po' più avanti nello sviluppo in serie:

$(1 + t)^\alpha = 1 + \alpha t + (\alpha(\alpha - 1))/2 t^2 + o(t^3) $

$(1 + x^4 - 5x^2)^{1/5} = 1 + 1/5 (x^4 - 5x^2) + (1/5(1/5 - 1))/2 (x^4 - 5x^2)^2 + ... = $
$ = 1 + 1/5 x^4 - x^2 + 1/10 (1/5 - 1)(x^8 - 10x^6 + 25x^4) + ... = $
$ = 1 - x^2 + 1/5 x^4 - 4/50 x^8 + 4/5 x^6 - 2x^4 + ... = $
$ = 1 - x^2 - 9/5 x^4 + o(x^6) $

[mona312]

Grazie, ho capito meglio la formula ora; l’unica cosa che non capisco è perché consideriamo lo sviluppo solo fino al secondo ordine e non fino al quarto. Poi il risultato è giusto tranne per l’o piccolo

[pilloeffe]

l’unica cosa che non capisco è perché consideriamo lo sviluppo solo fino al secondo ordine e non fino al quarto.

Avevo inteso che $n = 4 $ fosse il grado di $x$ desiderato; se invece vuoi lo sviluppo in serie fino a $t^4 $ ci sono solo un po' più di conti da fare...

Poi il risultato è giusto tranne per l’o piccolo

Probabilmente avrai scritto $o(x^5) $, ma è irrilevante perché di fatto termini di grado $5$ non ce ne sono, perciò ho scritto $o(x^6) $: ma se preferisci scrivere $o(x^5) $ non mi offendo...

[mona312]

C’è o(x^4) come o piccolo proprio perché lo sviluppo di Taylor è da fare fino a quell’ordine n=4. Io ero convinta che per fare uno sviluppo di Taylor e usare la formula bisognasse arrivare fino al quarto termine della formula, non il secondo, questo mi ha confusa più che altro… perché tu sei arrivato fino al secondo termine della formula eppure ti è uscito giusto… sono un po’ confusa ora ahah

[pilloeffe]

Va bene anche $o(x^4)$: significa che facendo il limite per $x \to 0 $ di ciò che rimane dello sviluppo in serie diviso per $x^4$ risulta $0$, il che è vero...

perché tu sei arrivato fino al secondo termine della formula eppure ti è uscito giusto…

Beh, perché ho un po' di esperienza e sapevo che se non avessi sviluppato in serie almeno fino a $t^2$ avrei poi sbagliato il coefficiente di $x^4 $...

[mona312]

Ho capito, grazie mille!