Determinare il carattere della serie $\sum_{n = 1}^{\infty} sqrt(tan(1/n) - 1/n)$

[CosenTheta]

Il limite del termine generale $a_n = sqrt(tan(1/n) - 1/n)$ è banalmente $0$.

Ho pensato di agire così: essendo l'argomento della tangente ovviamente sempre minore di $\pi/2$, posso sviluppare in serie la tangente

$tan(1/n) = 1/n + 1/(3n^3) + o(1/n^3)$

ottenendo così

$a_n = sqrt(1/n + 1/(3n^3) + o(1/n^3) - 1/n) = sqrt(1/(3n^3) + o(1/n^3))$.

Da qui i dubbi. Maggioro il termine generale elevando al quadrato, ottenendo

$a_n \leq 1/(3n^3) + o(1/n^3)$

Riferendomi alla presenza dell'o-piccolo, questo passaggio è lecito?

Ammesso che lo sia, dovrei considerare la serie

$\sum_{n = 1}^{\infty} [1/(3n^3) + o(1/n^3)]$

Ha senso avere un o-piccolo in un termine generale di una serie?
Se sì, avrebbe lo stesso carattere della serie armonica $\sum_{n = 1}^{\infty} 1/(3n^3)$?

[pilloeffe]

Ciao CosenTheta,

questo passaggio è lecito?

No, se moltiplichi un numero positivo molto minore di $1$ per sé stesso ottieni un numero ancora più piccolo, non più grande...
La serie proposta è convergente e ha lo stesso carattere della serie

$ \sum_{n = 1}^{+\infty} 1/(\sqrt3 n^{3/2}) = \sqrt3/3 \zeta(3/2) $

[CosenTheta]

se moltiplichi un numero positivo molto minore di 1 per sé stesso ottieni un numero ancora più piccolo

Sì, non mi son reso conto.
Grazie.