Salve a tutti, vorrei chiedervi un parere su una questione relativa alla definizione di limite di funzione.
Sia data una funzione $f:X \to \mathbb{R}$ e sia $x_0$ punto di accumulazione per $X$, laddove si ha
$\lim_{x\to x_0} f(x) = l$ valore finito. Posso prendere allora un $\epsilon_1$ in corrispondenza al quale resta individuato un $\delta_1$ per il quale $|f(x)-l<\epsilon_1$ quando $|x-x_0|<\delta_1$.
La mia domanda è: prendendo un $\epsilon_2 < \epsilon_1$ posso affermare che sarà $\delta_2 \leq \delta_1$?
Ho proceduto dimostrando per assurdo: supponiamo che in corrispondenza ad una coppia arbitraria $\epsilon_1, \epsilon_2$ risulti $\delta_2 > \delta_1$ (negazione della tesi). Allora per definizione di limite, laddove $|x-x_0|<\delta_1<\delta_2$ mi fa concludere che sarà $|f(x)-l|<\epsilon_2$ anche per $|x-x_0|<\delta_1$ e quindi dovrà essere vero che $\epsilon_2\geq\epsilon_1$, che nega, come si voleva, l'ipotesi iniziale.
Questa piccola prova mi sembra funzionare ma non mi convince del tutto. Ho il dubbio che tirando in ballo la relazione (la supposizione per assurdo) sui delta quando gli $\epsilon$ non sono ancora noti, anzi con l'obbiettivo di definire successivamente la relazione tra questi ultimi, stia causando una una falla nella logica di questa dimostrazione.
Un ringraziamento a chi vorrà aiutarmi in questa (probabilmente banale) questione!!