Aiuto sulle serie

[Tony_exe]

Buonasera,
domani ho il secondo esonero di Analisi 1 e, sono in difficoltà con un argomento.
In pratica questo esercizio mi chiede di calcolare il valore della serie numerica $ \sum_{n = 3}^{\infty} ln(1-1/n^2) $ ma non so assolutamente dove mettere le mani.
So calcolare la convergenza ecc. ma questo tipo di esercizio non ho capito come svolgerlo.

Grazie dell'aiuto

[Mephlip]

Ciao Tony_exe, benvenut* sul forum!

Osserva che:
$$\log\left(1-\frac{1}{n^2}\right)= \log \left(\frac{n^2-1}{n^2}\right)=\log(n^2-1)-\log(n^2)=\log\left((n+1)(n-1)\right)-2 \log n$$
$$=\log(n+1)-\log n -\left(\log n - \log(n-1)\right)$$
Riesci a concludere da solo?

[Tony_exe]

Arrivo a $ log(n+1)+log(n-1) $ = $ log(n^2-1) $

da qui poi devo fare $ lim_(x -> infty)log(n^2-1) $ ?

[Tony_exe]

Ciao Tony_exe, benvenut* sul forum!

Osserva che:
$$\log\left(1-\frac{1}{n^2}\right)= \log \left(\frac{n^2-1}{n^2}\right)=\log(n^2-1)-\log(n^2)=\log\left((n+1)(n-1)\right)-2 \log n$$
$$=\log(n+1)-\log n -\left(\log n - \log(n-1)\right)$$
Riesci a concludere da solo?

Arrivo a $ log(n+1)+log(n-1) $ = $ log(n^2-1) $

da qui poi devo fare $ lim_(x -> infty)log(n^2-1) $ ?

[Mephlip]

No, c'è una sommatoria. Devi calcolare esplicitamente:
$$\sum_{n=3}^k \left(\log(n+1)-\log(n)-(\log(n)-\log(n-1))\right)$$
trovando un modo per far scomparire la sommatoria, ottenendo così una successione dipendente da $k$; devi poi passare al limite per $k \to +\infty$. Per fare ciò, devi ricordare quali sono le due principali tipologie di serie di cui si conosce la somma. Le hai sicuramente viste durante il corso di analisi.

Inoltre, usa il pulsante "Rispondi" e non il pulsante "Cita" (a meno che tu non debba citare parti specifiche del messaggio); grazie!

[pilloeffe]

Ciao Tony_exe,

Mephlip sta cercando di dirti che quella proposta è una serie telescopica, come la serie di Pietro Mengoli $ \sum_{n = 1}^{+\infty} 1/(n(n + 1)) = 1 $ (che dovresti aver visto nel corso di Analisi 1), sicché si ha:

$ \sum_{n = 3}^{+\infty} ln(1-1/n^2) = - ln(3/2) $

[Tony_exe]

Grazie mille dell'aiuto, adesso ho capito meglio.

[gio73]

@pilloeffe

Non sarebbe male aspettare qualche sforzo in più Dell op
Magari pare di aver capito, ma l autonomia si conquista con un po' di fatica.

Nel lungo periodo (al momento degli esami) se ne troverà beneficio.