Domanda sul segno di una derivata

[ironhak]

Ciao a tutti, ho questa funzione:
$$g(t,Z)=-e^{-Z_{t,0}(T_0-t)}+e^{-Z_{t,n}(T_n-t)}+\frac{K}{4}\sum_i^n e^{-Z_{t,i}(T_i-t)}$$

Mi viene chiesto di calcolare la derivata prima rispetto a $t$, ed io la risolvo così:
$$\frac{\partial g(t,Z)}{\partial t}=-Z_{t,0}e^{-Z_{t,0}(T_0-t)}- Z_{t,n}e^{-Z_{t,n}(T_n-t)}+\frac{K}{4}\sum_i^n -Z_{t,i}e^{-Z_{t,i}(T_i-t)}$$
Il primo valore l'ho visto come $(-1)e^{-Z_{t,0}(T_0-t)}$, quindi il $-1$ l'ho tolto in quanto costante.
A quanto pare i segni della derivata sono sbagliati e quindi la derivata è sbagliata, so che la domanda è banale però qualcuno può spiegarmi perché i segni non dovrebbero essere come ho scritto io?

Inoltre non capivo anche questo, sia $V_t$ una funzione definita come:
$$V_t=\sum_i^d\lambda_i e^{-R(t,T_i)(T_i-t)}$$
Il professore ha spiegato che quindi le derivate sono:
$$\frac{\partial V}{\partial R}=-\sum_i^d(T_i-t)\lambda_i e^{-R(t,T_i)(T_i-t)}$$
$$\frac{\partial V}{\partial t}=\sum_i^d R(t,T_i)\lambda_i e^{-R(t,T_i)(T_i-t)}$$
Non riesco proprio a capire, perché nella seconda derivata non c'è il meno? Eppure tutte e due dovrebbero averlo perché c'è il meno nell'esponente.

Grazie.

[Mephlip]

Secondo me non è possibile aiutarti perché $Z$, $R$ e $V$ sembrano tutte dipendere a loro volta da $t$ a causa del pedice $t$ di $Z$ e $V$ e a causa dei del primo dei due argomenti della funzione $R$. Quindi, se così fosse, nelle derivate rispetto a $t$ di quelle funzioni devi considerare anche la loro dipendenza esplicita da $t$. Quali sono le espressioni esplicite di $Z$, $R$ e $V$?

[ironhak]

Secondo me non è possibile aiutarti perché $Z$, $R$ e $V$ sembrano tutte dipendere a loro volta da $t$ a causa del pedice $t$ di $Z$ e $V$ e a causa dei del primo dei due argomenti della funzione $R$. Quindi, se così fosse, nelle derivate rispetto a $t$ di quelle funzioni devi considerare anche la loro dipendenza esplicita da $t$. Quali sono le espressioni esplicite di $Z$, $R$ e $V$?

Ciao, $t$ è semplicemente il tempo. Non c'è una forma esplicita di $R$, rappresenta un valore deterministico ad un certo istante $t$. Quindi $R$ è un vettore con valori da $t=0$ a $t=n$ e $Z$ è un vettore che contiene diversi $R$.

Le derivate non sono dipendenti, si tratta di mere derivate come quelle delle superiori. Solo che non capisco il motivo del segno.

[Mephlip]

Ok, sembra una discretizzazione del tempo. Comunque, un errore che vedo nella derivata di $g$ sono i segni del secondo e terzo termine. Infatti, se moltiplichi esplicitamente agli esponenti, ottieni che l'esponente del secondo esponenziale è $Z_{t,n}t-Z_{t,n}T_n$ e l'esponente dell'esponenziale all'interno della sommatoria è $Z_{t,i}t-Z_{t,i}T_i$. Quindi, quando derivi, gli esponenziali rimangono invariati ma, per il teorema di derivazione della funzione composta, devi moltiplicare il secondo termine per $Z_{t,n}$ e il terzo termine per $Z_{t,i}$. Quindi, se non ho capito male come si deve calcolare la derivata in questo contesto discretizzato, dovrebbe essere:
$$\frac{\partial g(t,Z)}{\partial t}=-Z_{t,0}e^{-Z_{t,0}(T_0-t)}+Z_{t,n}e^{-Z_{t,n}(T_n-t)}+\frac{K}{4}\sum_i^n Z_{t,i}e^{-Z_{t,i}(T_i-t)}$$
Dimmi se ti torna, non sono bravo con i conti. Se ti torna, possiamo procedere con le altre derivate.

Comunque, ti consiglio caldamente di rivedere la terminologia: le derivate si calcolano, non si risolvono. Inoltre, quando hai detto: "Il $-1$ l'ho tolto in quanto costante", credo che tu intendessi dire: "Il $-1$ è una costante moltiplicativa, quindi per linearità della derivata posso moltiplicare la derivata per $-1$". Se così fosse, evita formulazioni così grezze che a un orale potrebbero far imbestialire il tuo interrogatore .

Infine, per favore non quotare tutto il messaggio per rispondere ma solo una sua parte necessaria: se non c'è bisogno di quotare, usa il pulsante: "Rispondi" in alto a destra anziché il pulsante: "Cita".

[pilloeffe]

Ciao ironhak,

Il professore ha spiegato che quindi le derivate sono:[...]

Ha ragione il tuo professore.

Non riesco proprio a capire, perché nella seconda derivata non c'è il meno?

Perché c'è il meno all'esponente, ma c'è anche il $- t$, quindi se derivi rispetto a $t$ non c'è alcun segno meno...

[ironhak]

Ciao ironhak,

Il professore ha spiegato che quindi le derivate sono:[...]

Ha ragione il tuo professore.

Non riesco proprio a capire, perché nella seconda derivata non c'è il meno?

Perché c'è il meno all'esponente, ma c'è anche il $- t$, quindi se derivi rispetto a $t$ non c'è alcun segno meno...

Ciao grazie, giusto per chiarire, stai dicendo che:
$$\frac{\partial e^{-R(t,T)T+R(t,T)t } }{\partial t}=R(t,T)$$ perché il $-R(t,T)T$ non lo considero dato che è derivata rispetto a $t$?

Grazie

[pilloeffe]

Hai usato simboli un po' diversi da quelli che hai usato in precedenza, ma sì l'idea è quella: la derivata rispetto a $t$ della quantità $ -R(t,T)T $ è nulla (visto che hai scritto che nonostante le apparenze $R(t,T) $ in realtà non dipende da $t$).