Primitiva

[DR1]

come si calcola la primitiva ? integrando la derivata ?

[Mephlip]

Questa domanda non ha senso: in generale una primitiva non è unica (ad esempio, sugli intervalli tutte le primitive di una certa funzione differiscono per una costante da una specifica primitiva definita sul dato intervallo), quindi non è "la primitiva" ma al più "una primitiva". Inoltre, la derivata di una data funzione non è sempre integrabile (per l'integrabilità di una funzione ci vogliono condizioni aggiuntive: due delle più note sono la continuità sui compatti o la monotonia). Dovresti riportare un esempio esplicito o essere più chiaro sul problema posto se è un problema generico.

[DR1]

esempio 2x, facciamo finta che non sappiamo sia la derivata di x^2, come faccio a calcolare la primitiva di 2x ?

[Mephlip]

Ribadisco: non "la primitiva", ma "una primitiva".

Non è una domanda naturale da porsi: le primitive sono definite tramite le derivate, quindi se non conosci a priori la derivata di una funzione puoi solamente procedere per tentativi (ossia, derivare funzioni a caso nella speranza di ottenere la funzione di cui vuoi determinare la primitiva).

Qual è il tuo obiettivo? Vuoi per caso calcolare l'integrale definito di $f(x)=2x$ in un certo intervallo (facciamo, per esempio, $[0,1]$) e ti chiedi come poterlo calcolare senza passare per il teorema fondamentale del calcolo integrale (quindi, non ricorrendo a qualcosa che metta in relazione la derivata di una funzione con calcolo di integrali definiti)?

[Martino]

esempio 2x, facciamo finta che non sappiamo sia la derivata di x^2, come faccio a calcolare la primitiva di 2x ?

È un po' come dire: facciamo finta di non sapere che 2+2=4, Come si calcola 2+2?

[pilloeffe]

Ciao DR1,

Non so se è quello che vuoi sapere, ma l'insieme di tutte le primitive di una funzione è l'integrale indefinito della funzione:

$\int f(x) \text{d}x = F(x) + c $

ove $F(x) $ è una primitiva di $f(x) $
Nel caso in cui $f(x) = 2x $ si ha:

$\int 2x \text{d}x = 2 \int x \text{d}x = 2 \cdot x^2/2 + c = x^2 + c $

Per ogni funzione derivabile si ha:

$ \int f'(x) \text{d}x = f(x) + c $

[Mephlip]

@pilloeffe: In generale entrambe le affermazioni sono false.

ma l'insieme di tutte le primitive di una funzione è l'integrale indefinito della funzione:

$\int f(x) \text{d}x = F(x) + c $

ove $F(x) $ è una primitiva di $f(x) $

Ad esempio, una possibile primitiva di \(f(x)=1/x^2\) su $(0,+\infty)$ è \(F_1 (x)=-1/x+3\) mentre su $(-\infty,0)$ una possibile primitiva di $f$ è \(F_2(x)=-1/x+5\) e quindi una primitiva di $f$ su $\mathbb{R} \setminus \{0\}$ è:
\[ F(x)=\begin{cases} -1/x+3 & \text{se} \ x>0 \\ -1/x+5 & \text{se} \ x <0 \end{cases}\]
in sostanza, si possono avere due costanti diverse sulle componenti connesse di $\mathbb{R} \setminus \{0\}$ e ciò non altera il fatto che $F$ sia una primitiva di $f$ su $\mathbb{R}\setminus\{0\}$; quindi, in questo caso, $\int f(x)\text{d}x$ non è della forma $F(x)+c$. Quello che dici è vero se l'insieme in cui si ricerca una primitiva è un insieme particolare: un intervallo. Ciò segue dal teorema di Lagrange.

Per ogni funzione derivabile si ha:

$ \int f'(x) \text{d}x = f(x) + c $

Una funzione derivabile $f$ potrebbe avere derivata prima $f'$ non integrabile (secondo Riemann) e quindi, in generale, $\int f'(x)\text{d}x$ potrebbe non avere senso; si trovano controesempi semplici con funzioni del tipo potenza moltiplicata \( \sin(1/x) \) e definita, ad esempio, $0$ in $x=0$.

[pilloeffe]

Mephlip lo so, ma il mio riferimento era a funzioni "tranquille" analoghe a quella citata dall'OP...