@pilloeffe: In generale entrambe le affermazioni sono false.
pilloeffe ha scritto:ma l'insieme di tutte le primitive di una funzione è l'integrale indefinito della funzione:
$\int f(x) \text{d}x = F(x) + c $
ove $F(x) $ è una primitiva di $f(x) $
Ad esempio, una possibile primitiva di \(f(x)=1/x^2\) su $(0,+\infty)$ è \(F_1 (x)=-1/x+3\) mentre su $(-\infty,0)$ una possibile primitiva di $f$ è \(F_2(x)=-1/x+5\) e quindi una primitiva di $f$ su $\mathbb{R} \setminus \{0\}$ è:
\[ F(x)=\begin{cases} -1/x+3 & \text{se} \ x>0 \\ -1/x+5 & \text{se} \ x <0 \end{cases}\]
in sostanza, si possono avere due costanti diverse sulle componenti connesse di $\mathbb{R} \setminus \{0\}$ e ciò non altera il fatto che $F$ sia una primitiva di $f$ su $\mathbb{R}\setminus\{0\}$; quindi, in questo caso, $\int f(x)\text{d}x$ non è della forma $F(x)+c$. Quello che dici è vero se l'insieme in cui si ricerca una primitiva è un insieme particolare: un intervallo. Ciò segue dal teorema di Lagrange.
pilloeffe ha scritto:Per ogni funzione derivabile si ha:
$ \int f'(x) \text{d}x = f(x) + c $
Una funzione derivabile $f$ potrebbe avere derivata prima $f'$ non integrabile (secondo Riemann) e quindi, in generale, $\int f'(x)\text{d}x$ potrebbe non avere senso; si trovano controesempi semplici con funzioni del tipo potenza moltiplicata \( \sin(1/x) \) e definita, ad esempio, $0$ in $x=0$.
A spoon can be used for more than just drinking soup. You can use it to dig through the prison you're locked in, or as a weapon to gouge the witch's eyes out. Of course, you can also use the spoon to continually sip the watery soup inside your eternal prison.