In particolare, è richiesto di:
1) Scrivere le prime 8 somme parziali $s_1, ..., s_8$.
2) Studiare la convergenza della serie.
3) Studiare la convergenza assoluta della serie.
Anzitutto, osservo che la sequenza
$cos(1\pi/2) = 0$
$cos(2\pi/2) = -1$
$cos(3\pi/2) = 0$
$cos(4\pi/2) = 1$
si ripete periodicamente e che il coseno vale $0$ per indici dispari mentre $-1$ o $1$ per indici pari.
Punto 1
$s_1 = 0$
$s_2 = s_1 + cos(\pi)/2 = -1/2$
$s_3 = s_2 + cos(3\pi/2)/3 = -1/2$
$s_4 = s_3 + cos(4\pi/2)/4 = -1/4$
$s_5 = s_4 + cos(5\pi/2)/5 = -1/4$
$s_6 = s_5 + cos(6\pi/2)/6 = -5/12$
$s_7 = s_6 + cos(7\pi/2)/7 = -5/12$
$s_8 = s_7 + cos(8\pi/2)/8 = -7/24$
Pare che questo punto dell'esercizio voglia fornirmi l'informazione sul segno del termine generale.
Prima di affrontare i punti sulla convergenza vorrei capire quanto segue.
Essendo
\(\displaystyle \frac{\cos(n\pi/2)}{n} = \begin{cases}
-1/n & \text{ se n = 2, 6, 10, 14... }\\
1/n & \text{ se n = 4, 8, 12, 16... }
\end{cases} \)
c'è un modo per scrivere la sommatoria dell'esercizio come sommatoria dei termini $-1/n$ e $1/n$ con quelle condizioni su $n$?