Studio della serie $\sum_{n = 1}^{\infty} cos(n\pi/2)/n$

[CosenTheta]

In particolare, è richiesto di:

1) Scrivere le prime 8 somme parziali $s_1, ..., s_8$.
2) Studiare la convergenza della serie.
3) Studiare la convergenza assoluta della serie.

Anzitutto, osservo che la sequenza

$cos(1\pi/2) = 0$
$cos(2\pi/2) = -1$
$cos(3\pi/2) = 0$
$cos(4\pi/2) = 1$

si ripete periodicamente e che il coseno vale $0$ per indici dispari mentre $-1$ o $1$ per indici pari.

Punto 1

$s_1 = 0$
$s_2 = s_1 + cos(\pi)/2 = -1/2$
$s_3 = s_2 + cos(3\pi/2)/3 = -1/2$
$s_4 = s_3 + cos(4\pi/2)/4 = -1/4$
$s_5 = s_4 + cos(5\pi/2)/5 = -1/4$
$s_6 = s_5 + cos(6\pi/2)/6 = -5/12$
$s_7 = s_6 + cos(7\pi/2)/7 = -5/12$
$s_8 = s_7 + cos(8\pi/2)/8 = -7/24$

Pare che questo punto dell'esercizio voglia fornirmi l'informazione sul segno del termine generale.

Prima di affrontare i punti sulla convergenza vorrei capire quanto segue.

Essendo

\(\displaystyle \frac{\cos(n\pi/2)}{n} = \begin{cases}
-1/n & \text{ se n = 2, 6, 10, 14... }\\
1/n & \text{ se n = 4, 8, 12, 16... }
\end{cases} \)

c'è un modo per scrivere la sommatoria dell'esercizio come sommatoria dei termini $-1/n$ e $1/n$ con quelle condizioni su $n$?

[Sh3rl0ckH0lm3s]

Per prima cosa osserviamo che

$ sum_(n=1)^(+oo)cos(n*pi/2)/n=0/1-1/2+0/3+1/4+0/5-1/6+0/7+1/8+0/9-1/10+0/11+1/12+...=(1/4-1/2)+(1/8-1/6)+(1/12-1/10)+...+(1/(4n)-1/(2(2n-1)))+...=sum_(n=1)^(+oo)[1/(4n)-1/(2(2n-1))] $

Per ogni $n in NN$

$ |1/(4n)-1/(2(2n-1))|=1/(2n(4n-2))<=1/((4n^2) $

Poichè la serie $ sum_(n=1)^(+oo)1/(4n^2) $ è convergente, dal criterio del confronto per serie numeriche, ottieni che la serie converge assolutamente, e quindi converge. Allora anche la serie data converge.

Per studiare la convergenza assoulta procediamo in modo simile

$ sum_(n=1)^(+oo)|cos(n*pi/2)/n|=0/1+1/2+0/3+1/4+0/5+1/6+0/7+1/8+0/9+1/10+0/11+1/12+...=(1/4+1/2)+(1/8+1/6)+(1/12+1/10)+...+(1/(4n)+1/(2(2n-1)))+...=sum_(n=1)^(+oo)[1/(4n)+1/(2(2n-1))] $

Per ogni $n in NN$

$ 1/(4n)+1/(2(2n-1))=(4n-1)/(2n(4n-2))>=(4n-2)/(2n(4n-2))=1/(2n) $

Quindi, ancora per il criterio del confronto, la serie diverge, e quindi la serie data non converge assolutamente.

EDIT

Nel messaggio precedente ho commesso alcune imprecisioni che ho corretto

[CosenTheta]

Dunque il primo punto suggeriva in qualche modo la riscrittura del termine generale.
Grazie.

[pilloeffe]

Ciao CosenTheta,

Forse può anche esserti utile osservare che per la formula di Eulero si ha:

$e^{ix} = cos(x) + i sin(x) $

Nel caso in esame $x := n \pi/2 $, sicché si ha:

$\sum_{n = 1}^{+\infty} cos(n\pi/2)/n =\text{Re}[\sum_{n = 1}^{+\infty} (e^(i\pi/2))^n/n] = \text{Re}[- ln2/2 + i\pi/4] = - ln2/2 $

[CosenTheta]

@Sh3rl0ckH0lm3s
Ho letto la tua correzione.

@pilloeffe
Ti ringrazio dell'approfondimento.

[pilloeffe]

Ti ringrazio dell'approfondimento.

Prego.
2) Più rapidamente si poteva anche osservare che la serie proposta si può scrivere nel modo seguente:

$\sum_{n = 1}^{+\infty} cos(n\pi/2)/n = \sum_{n = 1}^{+\infty} (-1)^n 1/(2n) = 1/2 \sum_{n = 1}^{+\infty} (-1)^n/n = - ln2/2 $

3) Si vede immediatamente che non converge assolutamente in quanto sarebbe uguale a $1/2 \sum_{n = 1}^{+\infty} 1/n $ e l'ultima scritta è la serie armonica, notoriamente divergente.

[CosenTheta]

2) Più rapidamente si poteva anche osservare che la serie proposta si può scrivere nel modo seguente:
$ \sum_{n = 1}^{+\infty} cos(n\pi/2)/n = \sum_{n = 1}^{+\infty} (-1)^n 1/(2n)$

Interessante. Così facendo, l'esercizio diventa molto più snello.