Studio di $ f(x) = \frac{e^x}{x} $

[ncant]

Ciao a tutti. Ho svolto lo studio di questa funzione e avrei bisogno di un controllo.

Dunque...

Data la funzione \(f : \mathcal{D} \to \mathbb{R}\) di legge: \[
f(x) = \frac{e^x}{x}
\] il proprio dominio naturale risulta essere: \[
\mathcal{D} = \mathbb{R}-\{0\}.
\] dato che si tratta del rapporto di funzioni continue in tutto $ \mathbb{R} $, il cui denominatore si può però annullare quando $ x = 0 $ . Pertanto, in \(x=0\) è inutile chiedersi se sia continua o derivabile, in quanto in entrambi i casi condizione necessaria è che il punto in questione appartenga a \(\mathcal{D}\). Per quanto ne concerne invece il segno:
\[
f(x) \geq 0 \qquad \Leftrightarrow \qquad x > 1 \text{.}
\]

Nel calcolo dei limiti si andrà a considerare il caso opportuno: \[
\begin{aligned}
&\lim_{x \to -\infty} \frac{e^x}{x} = 0 \qquad \lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x} = +\infty
\end{aligned}
\]
da cui si evince la presenza di un asintoto orizzontale sinistro, ma non di uno orizzontale destro. Ciò non esclude la presenza di un asintoto obliquo destro, ma:
\[ \lim_{x \to +\infty} \frac{e^x / x}{x} = +\infty \neq \ell \in \mathbb{R}\] pertanto non esiste alcun limite per $ x \to +\infty $
(si può anche notare come $ f(x) $ non è Lipschitziana in tutto $ \mathbb{R} $).

Ciò fatto, passiamo al calcolo della derivata prima di \(f\) e in prima battuta scriviamo:
\[ f'(x) = \frac{xe^x - e^x}{x^2} \]
dove per \(x=0\) non se ne parla nemmeno di derivabilità, dato che in \(x=0\) la funzione \(f\) non è nemmeno continua!

Altrove non è necessario indagare, in quanto la derivabilità è garantita da teoremi del tutto analoghi a quelli sopra menzionati circa la continuità di funzioni elementari.

Quindi, si procede con lo studio della positività di \(f'\): \[ f'(x) \ge 0 \qquad \Leftrightarrow \qquad x > 1
\] dal quale possiamo dedurre che $ f $ è decrescente per $ x < 1 $ e crescente per $ x > 1 $. Dunque, $ f $ ha un punto di minimo locale per $ x = 1 $ e pertanto un minimo locale $ f (1) = e $.

Infine, non rimane che calcolare anche la derivata seconda di \(f\): \[
f''(x) =
\frac{d}{dx} \left( \frac{xe^x - e^x}{x^2} \right) = \frac{d}{dx} \left( \frac{xe^x}{x^2} - \frac{e^x}{x^2} \right) = \frac{e^xx-e^x}{x^2} - \frac{e^x x^2 - e^x \cdot 2x}{\left( x^2 \right)^2} = \frac{x^2 e^x - 2xe^x + 2e^x}{x^3}
\] e, al solito, studiarne la positività, ossia: \[
f''(x) \ge 0
\qquad \Leftrightarrow \qquad x > 0
\] da cui è facile dedurre che $ f $ ha concavità rivolta verso il basso per $ x < 0 $ e concavità rivolta verso l'alto per $ x > 0 $.

Va bene?

(Come al solito, grazie a tutti per l'attenzione).

[StrilingAlQuadrato]

Ipotizzo un errore di battitura:
\[ f(x) \geq 0 \qquad \Leftrightarrow \qquad x > 0 \text{.} \] invece di $ x>1$

Per il resto mi sembra tutto corretto.

[pilloeffe]

Ciao ncant,

dato che in $x=0$ la funzione $f$ non è nemmeno continua!

Beh, se non è definita in $x = 0$ è chiaro che non è continua...
C'è un asintoto verticale di equazione $x = 0 $, il codominio è $C = (-\infty, 0) \cup [e, +\infty) $