OK, ci ho ragionato un po' su. Ho realizzato che in realtà questa funzione è la parte positiva e nulla della funzione
\[
g(x) = \begin{cases}
x^2 \sin \left( \frac{1}{x}\right) & \text{se } x \neq 0 \\
0 & \text{se } x = 0
\end{cases} \text{.}
\]
Prima di procedere però, voglio riportare qui i quesiti che mi vengono posti in merito a $ f (x) $:
Determinare se la $ f $ è continua e derivabile sul suo dominio. Si determino inoltre i limiti alla frontiera del dominio.
Quali sono massimo, minimo, sup e inf dei valori assunti dalla funzione?
Riassumendo le informazioni raccolte, si disegni un grafico approssimativo di $ f $
Bada bene: il primo quesito non chiede se la funzione è $ C^1 $, come erroneamente pensavo io, che nel frattempo avevo cominciato a fare ragionamenti strani. Ci chiede però se $ f $ è $ C^0 $.
Ricordo che la nostra funzione è
\[
f(x) = \begin{cases}
\max \left( 0, x^2 \sin \left( \frac{1}{x}\right)\right) & \text{se } x \neq 0 \\
0 & \text{se } x = 0
\end{cases} \text{.}
\]
$ f $ è
definita in tutto $ \mathbb{R} $, (la funzione, definita a tratti, "intercetta" l'unico problema che poteva avere $ x^2 \sin \left( \frac{1}{x}\right) $: $ x = 0 $, restituendo $ 0 $ come valore). Ma sarà $ f $ continua in tutto $ \mathbb{R} $? E anche: sarà $ f $ continua in $ 0 $. Derivabile in $ 0 $? Derivabile in tutti i punti di $ \mathbb{R} $.
Prendo in considerazione
\[
g(x) = \begin{cases}
x^2 \sin \left( \frac{1}{x}\right) & \text{se } x \neq 0 \\
0 & \text{se } x = 0
\end{cases} \text{.}
\]
Questa è continua in tutto $ \mathbb{R} $. Dato che:
\[
-1 \leq \sin \left( \frac{1}{x}\right) \leq 1 \leadsto -x^2 \leq x^2 \sin \left( \frac{1}{x}\right) \leq x^2
\]
e per il teorema dei carabinieri:
\[ \lim_{x \to 0} x^2 \sin \left( \frac{1}{x}\right) = 0 \]
che conferma che $ g(x) $ è continua in tutto $ \mathbb{R} $, in quanto:
\[
g(0)=0 \qquad \text{e} \qquad \lim_{x \to 0} x^2 \sin \left( \frac{1}{x}\right) = 0
\]
(La continuità negli altri punti di $ \mathbb{R} $ è garantita dai vari teoremi sulla continuità di funzioni elementari e delle loro varie operazioni).
Lo stesso ragionamento si può dunque applicare anche per $ f (x) $. Infatti $ f (x) $ posso riscriverla anche come:
\[
f(x) = \max \left( 0, g(x) \right) = \max \left( 0,\begin{cases}
x^2 \sin \left( \frac{1}{x}\right) & \text{se } x \neq 0 \\
0 & \text{se } x = 0
\end{cases} \right)\text{.}
\]
che, per quanto detto prima, è continua in tutto $ \mathbb{R} $! Inoltre, il teorema dei carabinieri mi ha dato un' importante indicazione per disegnare il grafico: $ f $ è compresa tra $ 0 $ e $ x^2 $.
Ma dunque, sarà $ f $ anche derivabile in tutto $ \mathbb{R} $? Qui mi è utile considerare $ f $ però definita dalla legge seguente:
\[
f(x) = \begin{cases}
x^2 \sin \left( \frac{1}{x}\right) & \text{se } \sin \frac{1}{x} > 0 \\
0 & \text{se } \sin \frac{1}{x} < 0 \vee x = 0
\end{cases}
\]
Quindi adesso ci chiediamo: $ f $ è derivabile in $ 0 $? E in tutte le $ x $ tali che $ \sin \frac{1}{x} = 0 $?
Indaghiamo:
\[
\lim_{h \to 0} \frac{f(0 + h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0} h \sin \frac{1}{h} = 0
\]
(secondo voi come l'ho trovato il risultato? Ho fatto un calcolo a macchinetta, o ho usato qualcosa di più teorico?
)
da cui si capisce che $ f $ è derivabile in $ 0 $. Lo sarà anche nei punti in cui $ \sin \frac{1}{x} = 0 $?
I punti da considerare sono quelli nell'intervallo.
Intuitivamente, la risposta è no, in quanto la funzione, bruscamente, cambia definizione proprio in questi punti. Però sarà necessario fare un calcolo ben rigoroso. Fosse stato un solo punto, avrei potuto dimostrarlo con il limite destro e sinistro della derivata in quel punto.
Come potrei procedere da qui? E inoltre, il ragionamento che sto facendo fin'ora è corretto?
Il mio rapporto con la matematica è come quello tra Dante e Beatrice: la amo, ma è un'amore non corrisposto.