Studio di funzione

[ncant]

Sto studiando la seguente funzione:

\[
f(x) = \begin{cases}
0 & \text{se } x = 0 \\
\max \left( 0, x^2 \sin \left( \frac{1}{x} \right) \right) & \text{se } x \neq 0
\end{cases}
\]

Scrivendone la legge come una funzione a tratti, ottengo:
\[
f(x) := \begin{cases}
x^2 \sin \left( \frac{1}{x} \right) & \text{se } x^2 \sin \left( \frac{1}{x} \right) > 0 \\
0 & \text{se } x = 0 \vee x^2 \sin \left( \frac{1}{x} \right) < 0\\
\end{cases}
\]

ossia:
\[
f(x) := \begin{cases}
x^2 \sin \left( \frac{1}{x} \right) & \text{se } \frac{1}{\pi \left( 2n + 1 \right)} < x < \frac{1}{2 \pi n }, \quad \text{con } n \in \mathbb{R} \\
0 & \text{altrimenti.}
\end{cases}
\]

Ora, già la presenza di
\[
\max \left( 0, x^2 \sin \left( \frac{1}{x} \right) \right)
\]
(che tradotto significa: "se $ x^2 \sin \left( \frac{1}{x} \right) < 0 $, allora sputa fuori $ 0 $) ci assicura che la funzione sarà sempre positiva. Nel caso specifico $ x = 0 $, $ f $ sarà uguale a zero, confermando la tesi.

Fino a qui va bene? poi procederò col stabilire se e dove è continua.

[gugo82]

Se $f(0)=0$, non vedo come $f$ possa essere sempre positiva... Che vuol dire "positivo"?

[ncant]

Whoops, intendevo dire che $ f $ non è mai negativa: è sempre o positiva o nulla.
Però il resto va bene?

[ghira]

Se $f(0)=0$, non vedo come $f$ possa essere sempre positiva... Che vuol dire "positivo"?

Magari ncant è francese.

[gugo82]

Se $f(0)=0$, non vedo come $f$ possa essere sempre positiva... Che vuol dire "positivo"?

Magari ncant è francese.

Ma allora non pubblicherebbe mai una foto di una moka al posto di una baguette portata sotto l'ascella...

[gugo82]

Whoops, intendevo dire che $ f $ non è mai negativa: è sempre o positiva o nulla.
Però il resto va bene?

Sì.

Potresti cavartela più a buon mercato, dicendo che $f$ è la parte positiva del prolungamento continuo di $x^2 sin(1/x)$ a tutto $RR$, quindi è continua.
Che poi sia non negativa viene gratis dalla definizione di parte positiva.

[ncant]

Se $f(0)=0$, non vedo come $f$ possa essere sempre positiva... Che vuol dire "positivo"?

Magari ncant è francese.

Ma allora non pubblicherebbe mai una foto di una moka al posto di una baguette portata sotto l'ascella...

Oh, che bello! Hai visto l'altro mio messaggio. Se faccio ancora in tempo, potrei aggiungerti tra i ringraziamenti!
Comunque no, non sono francese. Sono romano (anche se iscritto all'Università di Pisa e attualmente risiedo proprio lì). Al posto della baguette c'è la cecina, i salumi toscani e il lampredotto (che a me non piace).
Mi sono sbellicato dalle risate quando ho letto il messaggio di @ghira. Oh beh, fossi stato francese, sarebbe stato "corretto"? Il mio Prof. di analisi ha fatto studiato in Francia (penso anche in ambito Erasmus all'epoca), forse dovrei chiederglielo...

OK, on continue avec cette folie jusqu'à ce que je trouve un moyen de régler toute cette affaire.

Realizzo che la legge che ho scritto implica che la funzione oscillerà sempre di più per $ x \to 0^\pm $, ma allora come potremmo disegnarne il grafico qualitativamente (su carta!) se la funzione oscilla sempre di più attorno a $ x = 0 $? Il grafico diventerà sempre più difficile da disegnare all'avvicinarsi sia a destra che a sinistra di $ x = 0 $.

Secondo: ok, posso dimostrare la continuità della funzione in $ x = 0 $, ma anche se si tratta della parte positiva del prolungamento continuo di $ x^2 \sin \left( \frac{1}{x} \right) $(che poi sarebbe effettivamente necessario verificare se il prolungamento rende la funzione continua in quel punto, o meglio: come si comportano i limiti destro e sinistro di $ f (x) $ per $ x \to 0 $?), dovrei anche dimostrare se essa, appunto, è continua nei punti dell'intervallo in cui $ x^2 \sin \left( \frac{1}{x} \right) > 0 $.

Error: not enough memory to process this information.
- (letteralmente il mio cervello)

Sono molto confuso.

[ghira]

[Oh beh, fossi stato francese, sarebbe stato "corretto"?

In Francia, 0 è negativo e positivo.

[gugo82]

Ma allora non pubblicherebbe mai una foto di una moka al posto di una baguette portata sotto l'ascella...

Oh, che bello! Hai visto l'altro mio messaggio. Se faccio ancora in tempo, potrei aggiungerti tra i ringraziamenti!

Certo.

Comunque no, non sono francese. Sono romano (anche se iscritto all'Università di Pisa e attualmente risiedo proprio lì).

Ero abbastanza certo non lo fossi, per il motivo detto su.

Realizzo che la legge che ho scritto implica che la funzione oscillerà sempre di più per $ x \to 0^\pm $, ma allora come potremmo disegnarne il grafico qualitativamente (su carta!) se la funzione oscilla sempre di più attorno a $ x = 0 $? Il grafico diventerà sempre più difficile da disegnare all'avvicinarsi sia a destra che a sinistra di $ x = 0 $.

Secondo te tutto si può rappresentare su carta?
E la funzione di Dirichlet dove la metti?
Ma anche senza andare così a fondo, chi ti assicura sia possibile rappresentare esattamente $sqrt(2)$?

Secondo: ok, posso dimostrare la continuità della funzione in $ x = 0 $, ma anche se si tratta della parte positiva del prolungamento continuo di $ x^2 \sin \left( \frac{1}{x} \right) $(che poi sarebbe effettivamente necessario verificare se il prolungamento rende la funzione continua in quel punto, o meglio: come si comportano i limiti destro e sinistro di $ f (x) $ per $ x \to 0 $?), dovrei anche dimostrare se essa, appunto, è continua nei punti dell'intervallo in cui $ x^2 \sin \left( \frac{1}{x} \right) > 0 $.

Questo è un buon esercizio di Analisi I: dimostra che, se $f,g:X -> RR$ sono continue in $X$, allora anche le due funzioni $min \{f,g\}$ e $max \{f,g\}$ sono continue in $X$.

[ncant]

E la funzione di Dirichlet dove la metti?

Non puoi. Però il testo dell'esercizio richiede di disegnare approssimativamente il grafico della funzione. Quanto bello lo può volere il Prof.? L'unica cosa che mi potrebbe davvero aiutare è sfruttare il fatto che $ f (x) $ è racchiusa tra l'asse del piano cartesiano e la funzione $ g(x) = x^2 $.

Questo è un buon esercizio di Analisi I: dimostra che, se f,g:X→R sono continue in X, allora anche le due funzioni min{f,g} e max{f,g} sono continue in X.

Devo dimostrare che
\[
\forall x_0 \in I \qquad \lim_{x \to x_0 } \max \{ f(x), g(x) \} = \max \{ f(x_0), g(x_0)\}
\]
Pongo, per comodità, $ h(x) = \max \{ f(x), g(x) \} $. Pertanto:
\[
\forall \varepsilon > 0 \, \exists \delta > 0 : x \in \left( x_0 - \delta, x_0 + \delta \right) \Longrightarrow h(x_0) - \varepsilon \leq h(x) \leq h(x_0) + \varepsilon \qquad \forall x_0 \in I
\]

L'unico indizio che però so su $ f $ e $ g $ è che sono due funzioni continue...
Ipotesi:

\[
\forall \varepsilon > 0 \, \exists \delta_1 > 0 : x \in \left( x_0 - \delta_1, x_0 + \delta_1 \right) \Longrightarrow f(x_0) - \varepsilon \leq f(x) \leq f(x_0) + \varepsilon
\]
\[
\forall \varepsilon > 0 \, \exists \delta_2 > 0 : x \in \left( x_0 - \delta_2, x_0 + \delta_2 \right) \Longrightarrow g(x_0) - \varepsilon \leq g(x) \leq g(x_0) + \varepsilon
\]

è una dimostrazione un po' lunga da scrivere qui. Però ne risulta che in effetti il $ max $ di due funzioni continue è anch'esso continuo nell'insieme di definizione $ I $ delle due funzioni.

Nel nostro esercizio, allora, l'unico punto da esaminare per confermare la continuità di $ f $ in tutto $ \mathbb{R} $ è $ x = 0 $.