Studio di funzione

[ghira]

https://fr.wiktionary.org/wiki/positif
https://fr.wiktionary.org/wiki/n%C3%A9gatif

e alcuni matematici francesi mi hanno confermato la cosa.

[ncant]

OK, ci ho ragionato un po' su. Ho realizzato che in realtà questa funzione è la parte positiva e nulla della funzione

\[
g(x) = \begin{cases}
x^2 \sin \left( \frac{1}{x}\right) & \text{se } x \neq 0 \\
0 & \text{se } x = 0
\end{cases} \text{.}
\]

Prima di procedere però, voglio riportare qui i quesiti che mi vengono posti in merito a $ f (x) $:

Determinare se la $ f $ è continua e derivabile sul suo dominio. Si determino inoltre i limiti alla frontiera del dominio.
Quali sono massimo, minimo, sup e inf dei valori assunti dalla funzione?
Riassumendo le informazioni raccolte, si disegni un grafico approssimativo di $ f $

Bada bene: il primo quesito non chiede se la funzione è $ C^1 $, come erroneamente pensavo io, che nel frattempo avevo cominciato a fare ragionamenti strani. Ci chiede però se $ f $ è $ C^0 $.

Ricordo che la nostra funzione è
\[
f(x) = \begin{cases}
\max \left( 0, x^2 \sin \left( \frac{1}{x}\right)\right) & \text{se } x \neq 0 \\
0 & \text{se } x = 0
\end{cases} \text{.}
\]

$ f $ è definita in tutto $ \mathbb{R} $, (la funzione, definita a tratti, "intercetta" l'unico problema che poteva avere $ x^2 \sin \left( \frac{1}{x}\right) $: $ x = 0 $, restituendo $ 0 $ come valore). Ma sarà $ f $ continua in tutto $ \mathbb{R} $? E anche: sarà $ f $ continua in $ 0 $. Derivabile in $ 0 $? Derivabile in tutti i punti di $ \mathbb{R} $.

Prendo in considerazione
\[
g(x) = \begin{cases}
x^2 \sin \left( \frac{1}{x}\right) & \text{se } x \neq 0 \\
0 & \text{se } x = 0
\end{cases} \text{.}
\]

Questa è continua in tutto $ \mathbb{R} $. Dato che:

\[
-1 \leq \sin \left( \frac{1}{x}\right) \leq 1 \leadsto -x^2 \leq x^2 \sin \left( \frac{1}{x}\right) \leq x^2
\]
e per il teorema dei carabinieri:
\[ \lim_{x \to 0} x^2 \sin \left( \frac{1}{x}\right) = 0 \]
che conferma che $ g(x) $ è continua in tutto $ \mathbb{R} $, in quanto:
\[
g(0)=0 \qquad \text{e} \qquad \lim_{x \to 0} x^2 \sin \left( \frac{1}{x}\right) = 0
\]
(La continuità negli altri punti di $ \mathbb{R} $ è garantita dai vari teoremi sulla continuità di funzioni elementari e delle loro varie operazioni).
Lo stesso ragionamento si può dunque applicare anche per $ f (x) $. Infatti $ f (x) $ posso riscriverla anche come:

\[
f(x) = \max \left( 0, g(x) \right) = \max \left( 0,\begin{cases}
x^2 \sin \left( \frac{1}{x}\right) & \text{se } x \neq 0 \\
0 & \text{se } x = 0
\end{cases} \right)\text{.}
\]
che, per quanto detto prima, è continua in tutto $ \mathbb{R} $! Inoltre, il teorema dei carabinieri mi ha dato un' importante indicazione per disegnare il grafico: $ f $ è compresa tra $ 0 $ e $ x^2 $.

Ma dunque, sarà $ f $ anche derivabile in tutto $ \mathbb{R} $? Qui mi è utile considerare $ f $ però definita dalla legge seguente:

\[
f(x) = \begin{cases}
x^2 \sin \left( \frac{1}{x}\right) & \text{se } \sin \frac{1}{x} > 0 \\
0 & \text{se } \sin \frac{1}{x} < 0 \vee x = 0
\end{cases}
\]
Quindi adesso ci chiediamo: $ f $ è derivabile in $ 0 $? E in tutte le $ x $ tali che $ \sin \frac{1}{x} = 0 $?
Indaghiamo:

\[
\lim_{h \to 0} \frac{f(0 + h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0} h \sin \frac{1}{h} = 0
\]
(secondo voi come l'ho trovato il risultato? Ho fatto un calcolo a macchinetta, o ho usato qualcosa di più teorico? )

da cui si capisce che $ f $ è derivabile in $ 0 $. Lo sarà anche nei punti in cui $ \sin \frac{1}{x} = 0 $?
I punti da considerare sono quelli nell'intervallo.

Intuitivamente, la risposta è no, in quanto la funzione, bruscamente, cambia definizione proprio in questi punti. Però sarà necessario fare un calcolo ben rigoroso. Fosse stato un solo punto, avrei potuto dimostrarlo con il limite destro e sinistro della derivata in quel punto.

Come potrei procedere da qui? E inoltre, il ragionamento che sto facendo fin'ora è corretto?

[gugo82]

Per la derivabilità in $0$, osserva che essendo $-x^2 <= f(x) <= x^2$, per i rapporti incrementali in $0$ hai:
\[
\forall h > 0,\qquad -h=\frac{-h^2-0}{h} \leq \frac{f(h)-f(0)}{h} \leq \frac{h^2 - 0}{h}=h
\]
ed analogamente:
\[
\forall h < 0,\qquad h=\frac{h^2-0}{h} \leq \frac{f(h)-f(0)}{h} \leq \frac{-h^2 - 0}{h}=-h
\]
da cui ottieni la derivabilità in $0$ per il Teorema dei Carabinieri.

Per quanto riguarda la derivabilità nei punti $x_k := 1/(k pi)$, osserva che puoi ragionare come in $x_1=1/pi$ e $x_2=1/(2pi)$, calcolando il rapporto incrementale a sinistra ed a destra e passando al limite.

[ncant]

Dato che la legge di $ f $ si può scrivere anche come

\[ f(x) := \begin{cases} x^2 \sin \left( \frac{1}{x}\right) & \text{se } \sin \frac{1}{x} > 0 \\ 0 & \text{se } \sin \frac{1}{x} < 0 \vee x = 0 \end{cases} \]

vuol dire che anche la sua derivata prima sarà una funzione definita a tratti:

\[
f'(x) := \begin{cases}
2x \sin \left( \frac{1}{x} \right) - \cos \left( \frac{1}{x} \right) & \text{se } \frac{1}{\pi} < x < \frac{1}{2\pi} \\
0 & \text{altrimenti}
\end{cases}
\]

(per essere più pignoli, dovremmo considerare $ \frac{1}{\pi(n+1)} < x < \frac{1}{2\pi n} $, con $ n \in \mathbb{Z} $ )

da cui posso in teoria studiarne il segno. Stessa cosa per la concavità/convessità, studiando il segno della derivata seconda.

La mia domanda, per pura ignoranza che adesso voglio colmare, è la seguente: in questo caso, è davvero necessario studiare le due derivate per disegnare un grafico qualitativo della funzione, anche basandosi sui quesiti posti?

Mi pongo in questa domanda sapendo che, dato che gli intervalli di crescenza/decrescenza di $ f $ diventano sempre più piccoli all'avvicinarsi di $ x = 0 $, non è necessario (anzi è impossibile) plottare a mano su carta ogni "rimbalzo" che fa $ f $ all'avvicinarsi di $ x = 0 $: neanche i software ce la fanno.

Sono aperto a qualsiasi suggerimento/spiegazione, anche piccola.

Come sempre, grazie

[gugo82]

Guarda che non è $f'(x) = 0 " altrimenti"$... Altrimenti il problema non si porrebbe proprio.

Per quanto riguarda il resto, niente è "necessario" in questo caso: se si conoscono le funzioni elementari, si sa anche come vanno le cose.
Il punto -e l'utilità effettiva- dell'esercizio è un altro: riesci a formalizzare ciò che vedi?
Cioè, "si vede" che $f$ non è derivabile nei punti $x_k$; ma riesci a spiegare formalmente perché non lo è?

Storicamente, il "si vede" ha generato parecchi errori, come dovresti ben sapere; per questo al matematico è chiesto sempre di formalizzare in maniera più o meno rigorosa. Ed è molto più semplice (secondo me) imparare a formalizzare partendo da qualcosa che si riesce già a descrivere altrimenti, rispetto a giocare con qualcosa di cui non si ha conoscenza.¹

---

Note

1. E questo è, ad esempio, il motivo per cui impariamo prima a parlare (dai 6-8 mesi in su) e poi deduciamo le regole della grammatica italiana (verso i 6 anni, quando siamo alle elementari). ↑

[ncant]

Cioè, "si vede" che f non è derivabile nei punti xk; ma riesci a spiegare formalmente perché non lo è?

In $ x = \frac{1}{\pi} $ si ha:

\begin{gather*}
\lim_{h \to 0^-} \frac{f \left( \frac{1}{\pi} + h\right) - f \left( \frac{1}{\pi} \right)}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{\left(\frac{1}{\pi^2} + \frac{2h}{\pi} + h^2 \right) \sin \left ( \frac{1}{\frac{1}{\pi} + h} \right) - \frac{\sin \left( \frac{1}{\pi}\right)}{\pi^2}}{h} = +\infty \\
\lim_{h \to 0^+} \frac{f \left( \frac{1}{\pi} + h\right) - f \left( \frac{1}{\pi} \right)}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{\left(\frac{1}{\pi^2} + \frac{2h}{\pi} + h^2 \right) \sin \left ( \frac{1}{\frac{1}{\pi} + h} \right) - \frac{\sin \left( \frac{1}{\pi}\right)}{\pi^2}}{h} = -\infty
\end{gather*}

e in $ x = \frac{1}{2\pi} $ si ha:

\begin{gather*}
\lim_{h \to 0^-} \frac{f \left( \frac{1}{2\pi} + h\right) - f \left( \frac{1}{2\pi} \right)}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{\left(\frac{1}{4\pi^2} + \frac{h}{\pi} + h^2 \right) \sin \left ( \frac{\pi^2}{1+2 \pi h} \right) - 0}{h} = +\infty \\
\lim_{h \to 0^+} \frac{f \left( \frac{1}{2\pi} + h\right) - f \left( \frac{1}{2\pi} \right)}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{\left(\frac{1}{4\pi^2} + \frac{h}{\pi} + h^2 \right) \sin \left ( \frac{\pi^2}{1+2 \pi h} \right) - 0}{h} = -\infty

\end{gather*}

Non ne posso più! Ho ottenuto un bel po' di informazioni, ma ancora non sono esattamente certo su come tracciare su carta, in sede d'esame, questo grafico. Mi arrendo.

[gugo82]

Ma anche no... I conti sono tutti sbagliati.

Per quanto riguarda il resto, così:

        Internet Explorer richiede Adobe SVG Viewer per visualizzare il grafico

può andare bene (osserva che ho disegnato anche la parabola sotto la quale vive il grafico ed un cerchietto nella zona dove avvengono le cose "cattive"); il disegno l'ho ottenuto dal disegno del grafico di $x^2 sin (1/x)$ , cioè:

        Internet Explorer richiede Adobe SVG Viewer per visualizzare il grafico

troncandolo a zero nelle zone di negatività

Però avvengono cose interessanti anche al di fuori del cerchietto... Ad esempio: come si comporta il grafico intorno a $+oo$ e a $-oo$?

[ncant]

Ok fa male. Immagino che gli spettatori da casa stanno scoppiando dal ridere.
Vedo quello che posso fare ora.

EDIT: sono ancora sveglio.

[gugo82]

Ho aggiunto un disegno al post precedente, da cui si vede che non è possibile ottenere (come erroneamente mostrerebbero i tuoi calcoli) punti a tangente verticale nel grafico: troncando la funzione $x^2 sin(1/x)$ a zero nelle zone di negatività al massimo vengono fuori dei punti angolosi.

Ricarica la pagina... Ed abituati: quando ci si deve sporcare le mani coi calcoli, può capitare a tutti di sbagliare.

[Mephlip]

EDIT: sono ancora sveglio.

Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.

Vai a dormire . O meglio, tanto ormai sei in sessione (quindi, sicuramente continui così fino a che non dai gli esami) e ora stai conducendo questo stile di vita per il quale è necessario qualche giorno per riprendersi; ma ti ribadisco, soprattutto per esperienza personale, che non ti conviene portarlo avanti per la produttività all'università.