Curiosità sulla somma di una serie a termini definitivamente positivi

[CosenTheta]

La somma di una serie convergente a termini positivi non può che essere positiva.

Tuttavia, riflettevo tra me e me sulla somma di una serie a termini definitivamente positivi.

Cioè, mi chiedevo: la somma di una serie convergente a termini definitivamente positivi può essere negativa?

Pensavo, ad esempio, ad una successione definita come segue

\(\displaystyle a_n = \begin{cases}
-n^n& \text{ se } 1 \leq n \leq 1000 \\
\frac{1}{n^n}&\text{ se } n \geq 1001
\end{cases} \)

la cui serie associata produrrebbe una somma dei primi 1000 termini negativi e "molto grandi" in modulo, mentre i restanti aggiuntivi sono positivi e "molto piccoli" e, sebbene infiniti, dubito possano "compensare" i primi mille.

In generale, confermate che non c'è nulla che assicuri che la parte positiva di una serie def. pos. riesca a "compensare" quella negativa (e che, quindi, la somma può essere di qualunque segno)?

[Mephlip]

Confermo che può essere negativa. Comunque, puoi costruirti controesempi molto più semplici: ricorda che, in questi contesti, hai molta libertà proprio perché sei tu a definire gli oggetti in considerazione. Per esempio, che ne dici di una serie a termini positivi di cui sai calcolare esplicitamente la somma, ma della quale modifichi il termine $0$-esimo della successione sotto il segno di serie in modo che esso sia un numero negativo, in modo tale che sommato alla somma della serie restituisca un numero negativo? Riesci a costruire esplicitamente una cosa del genere? Osserva che "definitivamente" vuol dire da un certo punto in avanti, quindi la positività basta che sia verificata anche solo dal secondo addendo in avanti.

[CosenTheta]

Pensavo ad una successione come questa

\( \displaystyle a_n = \begin{cases} -3 & \text{ se } n = 0
\\ (1/2)^n &\text{ se } n > 0 \end{cases} \)

e dunque la serie associata è la seguente

$\sum_{n = 0}^{\infty} a_n = -3 + \sum_{n = 1}^{\infty} (1/2)^n = -3 + (1/(1 - 1/2) - 1) = -2$.

[Mephlip]

A parte un errore di conto (la somma della serie è \(1/(1-1/3)-1=1/2)\), intendevo esattamente una cosa del genere.

[CosenTheta]

Sì, mi son reso conto dell'errore poco prima che tu rispondessi e ho corretto (era sbagliato il termine generale).

Grazie.