Determinare il carattere della serie $\sum_{n = 1}^{\infty} {e - (1 + 1/n)^n}$

[CosenTheta]

La serie è a termini positivi e la condizione necessaria per la convergenza è soddisfatta.
Come per il post sulla differenza di arcotangenti, eviterei di usare il criterio del rapporto asintotico che prevede l'uso, nuovamente, di De L'Hopital.

Un suggerimento?

[Mephlip]

Osserva che:
$$\left(1+\frac{1}{n}\right)^n = e^{n \log\left(1+1/n\right)}$$

[CosenTheta]

Col tuo suggerimento, avevo pensato così

$a_n = e - e^(n log(1 + 1/n)) = e(1 - e^(n log(1+1/n) - 1)) ~ e(1 - n log(1+1/n))$

Allora considero la serie

$\sum_{n = 1}^{\infty} {1 - n log(1+1/n)}$

il cui termine generale sviluppato in serie è $1/(2n) + o(1/n)$, che posso confrontare con la successione $1/n$, concludendo che la serie diverge.

Corretto?

[Mephlip]

Corretto!

[CosenTheta]

Grazie.