Esercizio con serie parametrica

[ciaomammalolmao]

In questo modo mi torna, grazie mille. Sai se ci sono ulteriori metodi per risolvere?

[pilloeffe]

In questo modo mi torna, grazie mille.

Prego.

Sai se ci sono ulteriori metodi per risolvere?

Non l'ho fatto, ma si potrebbe anche provare a dimostrare che la funzione

$f(x; \alpha) := (e^{ln(2x)/(2x)} - 1)x^{\alpha}$

è decrescente per $0 < \alpha < 1 $ e $x \ge 1 $, cioè ha derivata negativa almeno da un certo valore di $x$ in poi.

[ciaomammalolmao]

Va bene grazie

[pilloeffe]

Ho provato a studiare numericamente la derivata di $f(x; \alpha) $ e ho notato quanto segue:
- per valori di $\alpha $ vicini a $0$, come ad esempio $\alpha = 1/10 = 0,1 $, la funzione mi risulta decrescente quasi subito, per $x \ge 2$;
- per valori di $\alpha $ vicini a $1$, come ad esempio $\alpha = 1 - 1/10 = 0,9 $, la funzione mi risulta decrescente, ma per $x \ge 10787$;
- per $\alpha = 1/2 = 0,5 $, la funzione mi risulta decrescente per $x \ge 3$

[ciaomammalolmao]

Si può fare una conclusione generale anche quando $0<alpha<1$?

[pilloeffe]

Provaci, la derivata della funzione $f(x; \alpha) = (e^{ln(2x)/(2x)} - 1)x^{\alpha} $
è la seguente:

$(\del f)/(\del x) = 1/2 x^(\alpha - 2) [2 a x (e^{ln(2x)/(2x)} - 1) - e^{ln(2x)/(2x)} ln(x) - e^{ln(2x)/(2x)}(ln2 - 1)] = $

$ = 1/2 x^(\alpha - 2) [2 a x e^{ln(2x)/(2x)} - 2ax - e^{ln(2x)/(2x)} (ln(x) + ln2 - 1)] = $

$ = 1/2 x^(\alpha - 2) [e^{ln(2x)/(2x)}(2ax - ln(2x) + 1) - 2ax] $

Occorre vedere per quali valori di $x \ge 1 $ e $0 < \alpha < 1 $ tale derivata è negativa.

[ciaomammalolmao]

Ok grazie dopo guardo