Esercizio con serie parametrica

[ciaomammalolmao]

Dire quando converge la serie al variare del parametro $alpha$:
$\sum_{n=0}^\infty\cos(npi/2)(n^(1/n)-(-1)^n)n^alpha$.
Mi sono accorto che la successione dei termini dispari è nulla quindi la serie con argomento la successione dei termini dispari converge a zero, poi ho considerato la successione dei termini dispari che mi viene $b_k=(-1)^k((2k)^(1/(2k))-1)(2k)^alpha$, sono riuscito a trovare che $alpha<1$ dalla condizione necessaria per la convergenza e che $alpha<=0$ applicando l’assoluta convergenza. Mi manca da analizzare il caso $0<alpha<1$, ma non so come fare, non mi riesce dimostrare che la successione è decrescente quindi non riesco ad applicare leibniz. È giusto separare tra termini dispari e pari? Si può fare? Per andare avanti eventualmente come posso fare? Grazie mille in anticipo

[pilloeffe]

Ciao ciaomammalolmao,

È giusto separare tra termini dispari e pari? Si può fare?

Sì. Usando la tua simbologia si può scrivere:

$ \sum_{n=0}^{+\infty} cos(n\pi/2)(n^(1/n)-(-1)^n)n^{\alpha} = $
$ = \sum_{n \text{ dispari }}^{+\infty} cos(n\pi/2)(n^(1/n)-(-1)^n)n^{\alpha} + \sum_{n \text{ pari }}^{+\infty} cos(n\pi/2)(n^(1/n)-(-1)^n)n^{\alpha} = $
$ = 0 + \sum_{k = 1}^{+\infty} cos(2k\pi/2)((2k)^(1/(2k))-(-1)^(2k))(2k)^{\alpha} = 2^{\alpha} \sum_{k = 1}^{+\infty} cos(k\pi)((2k)^(1/(2k)) - 1)k^{\alpha} = $
$ = 2^{\alpha} \sum_{k = 1}^{+\infty} (- 1)^k((2k)^(1/(2k)) - 1)k^{\alpha} = 2^{\alpha} \sum_{k = 1}^{+\infty} (- 1)^k(e^{ln(2k)/(2k)} - 1)k^{\alpha} = $
$ = 2^{\alpha} \sum_{k = 1}^{+\infty} (- 1)^k \frac{e^{ln(2k)/(2k)} - 1}{ln(2k)/(2k)} \cdot ln(2k)/(2k) \cdot k^{\alpha} = 2^{\alpha - 1} \sum_{k = 1}^{+\infty} (- 1)^k \frac{e^{ln(2k)/(2k)} - 1}{ln(2k)/(2k)} \cdot k^{\alpha - 1} ln(2k) $

[ciaomammalolmao]

Ok grazie, più o meno ero arrivato anche io a questo punto, ma per dimostrare la convergenza dell’ultimo membro come posso fare? Asintoticamente mi rendo conto che posso semplificare per il limite notevole però quel $(-1)^k$ da’ fastidio no? Per applicare leibniz mi serve che la successione sia decrescente, e se applico l’assoluta convergenza ottengo solo alcuni valori di $alpha$ per cui la serie converge no? Grazie

[pilloeffe]

Procederei con lo sviluppo in serie della funzione:

$ \sum_{k = 1}^{+\infty} (- 1)^k \frac{e^{ln(2k)/(2k)} - 1}{ln(2k)/(2k)} \cdot k^{\alpha - 1} ln(2k) = \sum_{k = 1}^{+\infty} (- 1)^k [1 + o(ln(2k)/(2k))] \cdot k^{\alpha - 1} ln(2k) = $
$ = \sum_{k = 1}^{+\infty} (- 1)^k [k^{\alpha - 1} ln(2k) + o(ln(2k)/(2k)) k^{\alpha - 1} ln(2k)] = $
$ = \sum_{k = 1}^{+\infty} (- 1)^k [(ln2 + lnk)/k^{1 - \alpha} + o(ln(2k)/(2k)) k^{\alpha - 1} ln(2k)] $

Quindi per $0 < \alpha < 1 $ la serie proposta si comporta come la serie $\sum_{k = 1}^{+\infty} (- 1)^k (lnk)/k^{1 - \alpha} $, che converge semplicemente e diverge assolutamente.

[ciaomammalolmao]

E per capire la convergenza dell’ultima serie hai usato il criterio di leibniz?

[pilloeffe]

Sì.
In realtà più in generale si può dimostrare che $\forall p > 0 $ e $\forall q > 0 $ si ha la convergenza semplice della serie seguente:

$ \sum_{k = 1}^{+\infty} (- 1)^k (lnk)^p/k^q $

Nel caso in esame naturalmente $p = 1 $ e $0 < q < 1 $.
Consideriamo la funzione seguente:

$f(x) = (lnx)^p/x^q $

Si ha:

$ f'(x)=\frac{p x^{q-1}(\ln x)^{p-1}-qx^{q-1}(\ln x)^p}{(x^q)^2}=\frac{ x^{q-1}(\ln x)^{p-1}(p-q\ln x)}{(x^q)^2} $

$f'(x) $ è negativa per $x > e^{p/q} $ e quindi la funzione è decrescente e così la successione, sicché si può applicare il Criterio di Leibniz.

[ciaomammalolmao]

Grazie mille, un’ultima domanda, a noi è stato detto che il criterio del confronto asintotico è applicabile solo quando la successione all’interno della serie è a termini non negativi, ma in questo caso è a segni alterni. Posso comunque prima confrontarla asintoticamente con un altra serie a segni alterni e poi applicare il criterio di leibniz su quest’ultima come è stato fatto ?

[pilloeffe]

Attenzione che non è stato applicato alcun criterio del confronto asintotico.
Lo sviluppo in serie

$e^x = \sum_{n = 0}^{+\infty} x^n/(n!) = 1 + \sum_{n = 1}^{+\infty} x^n/(n!)$

vale $\forall x \in \RR $, come $e^x - 1 = \sum_{n = 1}^{+\infty} x^n/(n!) \implies (e^x - 1)/x = \sum_{n = 1}^{+\infty} x^{n - 1}/(n!) $ (quest'ultima invece vale $\forall x \in \RR - {0} $).

Ho preso ad esempio solo la prima serie, ma tutte le serie a segni alterni che si ottengono coi termini che compaiono dentro la parentesi quadra nel mio post

$ \sum_{k = 1}^{+\infty} (- 1)^k [(ln2 + lnk)/k^{1 - \alpha} + o(ln(2k)/(2k)) k^{\alpha - 1} ln(2k)] $

sono del tipo che ho scritto nel mio post precedente

In realtà più in generale si può dimostrare che $\forall p > 0 $ e $\forall q > 0 $ si ha la convergenza semplice della serie seguente:
$ \sum_{k = 1}^{+\infty} (- 1)^k (lnk)^p/k^q $

e pertanto semplicemente convergenti.

[ciaomammalolmao]

Procederei con lo sviluppo in serie della funzione:

$ \sum_{k = 1}^{+\infty} (- 1)^k \frac{e^{ln(2k)/(2k)} - 1}{ln(2k)/(2k)} \cdot k^{\alpha - 1} ln(2k) = \sum_{k = 1}^{+\infty} (- 1)^k [1 + o(ln(2k)/(2k))] \cdot k^{\alpha - 1} ln(2k) = $
$ = \sum_{k = 1}^{+\infty} (- 1)^k [k^{\alpha - 1} ln(2k) + o(ln(2k)/(2k)) k^{\alpha - 1} ln(2k)] = $
$ = \sum_{k = 1}^{+\infty} (- 1)^k [(ln2 + lnk)/k^{1 - \alpha} + o(ln(2k)/(2k)) k^{\alpha - 1} ln(2k)] $

Quindi per $0 < \alpha < 1 $ la serie proposta si comporta come la serie $\sum_{k = 1}^{+\infty} (- 1)^k (lnk)/k^{1 - \alpha} $, che converge semplicemente e diverge assolutamente.

Ma dire che la serie scritta nell’ultima uguaglianza del tuo post si comporta come $sum_{n=0}\^infty\(-1)^n ln(n)/(n^(1-alpha))$ non equivale ad utilizzare il criterio del confronto asintotico? Perdona l’insistenza

[pilloeffe]

Sì te l'ho detto, ho preso ad esempio solo la prima serie che si ottiene col primo termine dello sviluppo in serie che è $1$:

Ho preso ad esempio solo la prima serie, ma tutte le serie a segni alterni che si ottengono coi termini che compaiono dentro la parentesi quadra [...] sono del tipo che ho scritto nel mio post precedente [...]
e pertanto semplicemente convergenti.

Se prendo ad esempio quella col secondo termine dello sviluppo $x/2 := 1/2 ln(2k)/(2k) $ si ha la serie seguente:

$ 1/2 \sum_{k = 1}^{+\infty} (- 1)^k [(ln(2k)/(2k)) k^{\alpha - 1} ln(2k)] = 1/2 \sum_{k = 1}^{+\infty} (- 1)^k ln^2(2k)/(2k^{2 - \alpha}) $

che è sempre del tipo $ \sum_{k = 1}^{+\infty} (- 1)^k (lnk)^p/k^q $, semplicemente convergente $\forall p > 0 $ e $ \forall q > 0 $. E così via per tutte le serie che si ottengono coi termini successivi dello sviluppo in serie, che anzi a ben vedere risulteranno anche assolutamente convergenti, perché se $0 < \alpha < 1 \implies 2 - \alpha > 1 $