Ciao Simpronic,
Simpronic ha scritto:ricapitolando mi ritrovo in questa situazione dove non riesco a risolvere l'ultimo membro
A me risulta la scomposizione in fratti semplici seguente:
$ \int(2x^4+4)/(x^3+1) \text{d}x = \int 2 x \text{d}x + \int 2/(x + 1) \text{d}x - \int (2 (x-1))/(x^2 - x + 1) \text{d}x = $
$ = x^2 + 2ln|x + 1| - \int (2 (x-1) + 1 - 1)/(x^2 - x + 1) \text{d}x = $
$ = x^2 + 2ln|x + 1| - \int (2x-1)/(x^2 - x + 1) \text{d}x + \int 1/(x^2 - x + 1) \text{d}x = $
$ = x^2 + 2ln|x + 1| - ln(x^2 - x + 1) + \int 1/((x - 1/2)^2 + (sqrt3/2)^2) \text{d}x = $
$ = x^2 + 2ln|x + 1| - ln(x^2 - x + 1) + 4/3\int 1/(((x - 1/2)/(\sqrt3/2))^2 + 1) \text{d}x = $
$ = x^2 + 2ln|x + 1| - ln(x^2 - x + 1) + 4/3\int 1/(((2x - 1)/(\sqrt3))^2 + 1) \text{d}x $
A questo punto, ponendo nell'ultimo integrale $t := (2x - 1)/(\sqrt3) \implies \text{d}t = 2/\sqrt3 \text{d}x \implies \text{d}x = \sqrt3/2 \text{d}t $ si ottiene:
$ \int(2x^4+4)/(x^3+1) \text{d}x = x^2 + 2ln|x + 1| - ln(x^2 - x + 1) + 4/3 \cdot \sqrt3/2 \int 1/(t^2 + 1) \text{d}t = $
$ = x^2 + 2ln|x + 1| - ln(x^2 - x + 1) + 2/\sqrt3 arctan t + c = $
$ = x^2 + 2ln|x + 1| - ln(x^2 - x + 1) + 2/\sqrt3 arctan((2x - 1)/(\sqrt3)) + c $