CosenTheta ha scritto:Dunque si avrebbe che $1/2 - e < a_n < 1$.
Corretto?
Corretto, quindi da queste disuguaglianze non si può concludere nulla sul segno di $a_n$ purtroppo.
CosenTheta ha scritto:Pensavo a una cosa di questo genere, con $n$ naturale, valida però solo per $x \geq 0$
$e^x > (1 + x/n)^n > 1 + x$ (per la dis. di Bernoulli)
Per $x \leq -1$ la disuguaglianza è ovvia, perché la funzione $1 + x$ è negativa.
Come posso procedere per $-1 < x < 0$?
Va bene. Per avere un paio di tecniche che eliminano il problema sul segno di $x$, ti consiglio di:
(i) provare un approccio simile a quello proposto da gugo82, studiando la funzione $g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ definita ponendo $g(x):=e^x-1-x$;
(ii) queste disuguaglianze elementari si deducono quasi tutte (o almeno, una loro restrizione a insiemi di numeri non negativi) dagli sviluppi di Taylor. Dato che $e^0=1=1+0$, se $x=0$ la disuguaglianza non stretta è vera. Se $x>0$ è arbitrario, per il teorema di Taylor con resto di Lagrange centrato in $0$ di ordine $2$ esiste $\xi_x \in (0,x)$ tale che:
$$e^x=e^0+\left[\frac{\text{d}(e^t)}{\text{d}t}\right]_{x=0} x+\frac{1}{2}\left[\frac{\text{d}^2(e^t)}{\text{d}t^2}\right]_{x=\xi_x}x^2=1+x+\frac{1}{2}e^{\xi_x}x^2 > 1+x$$
Se $x<0$ procedi in modo analogo, ma stavolta hai $\xi_x \in (x,0)$ (non cambia nulla nella dimostrazione visto che, nel passaggio chiave in cui si maggiora, compaiono $x^2$ ed $e^{\xi_x}$ che sono entrambi positivi per $x<0$; ma va notato perché per dimostrare altre disuguaglianze il segno di $\xi_x$ può essere rilevante).
CosenTheta ha scritto:Quindi dovrei dire che
$(cos(1/n) + 1/n) - e^(1/n) \leq cos(1/n) + 1/n - 1 - 1/n = cos(1/n) - 1 \leq 0$ per ogni $n$.
Corretto?
Corretto. Hai poi la disuguaglianza stretta perché $e^x=1+x$ se e solo se $x=0$ (ed è \(1/n \ne 0\) per ogni $n\in\mathbb{N}\setminus\{0\}$).
A spoon can be used for more than just drinking soup. You can use it to dig through the prison you're locked in, or as a weapon to gouge the witch's eyes out. Of course, you can also use the spoon to continually sip the watery soup inside your eternal prison.