Condizioni al contorno (domanda semplice)

[canavese]

Ciao, qualucno potrebbe gentilmente aiutarmi su un dubbio molto ma molto stupido ma che non riesco a capire appieno? Vi ringrazio anticipatamente.

io mi trovo con una soluzione di una eq differenziale che scaturisce da un problema fisico che è:

$f(x,y)=(Acos(alphax)+Bsin(alphax))(Ccos(betay)+Dsin(betay))$ (**)

e ho le condizioni al contorno date dal problema (fisico) che mi dicono:

1) per ogni $y$ a $x=0$, $f(0,y)=0$
2) per ogni $y$ a $x=a$, $f(a,y)=0$

poi ce ne sono altre due ma sono uguali quindi soprassiedo riportando il dubbio su un caso.

Il prof dice che: ponendo $x=0$ ci accorgiamo che $Acos0+0=0 => A=0$, poi per la seconda $0+Bsin(alphaa)=0$ ovviamente il primo termine 0+ discende da A trovata prima che impone quel valore per il parametro, e allora $Bsin(alphaa)=0 => alpha=(npi)/a$.

Per D e C si procede simmetricamente quindi non sto a farlo.

Benissimo, ora il dubbio:

ma se io assumo la (**) e mi dico, $C=0, D=0$ (oppure nell'altro caso A=0=B), allora $f(0,y)=0=f(a,y)$ quindi anche questa funziona come soluzione per i parametri D e C nulli.
Non mi sembra quindi un se e solo se il fatto che:
[1) per ogni $y$ a $x=0$, $f(0,y)=0$ and 2) per ogni $y$ a $x=a$, $f(a,y)=0$] <=> [$A=0$ and $alpha=(npi)/a$].

Mi pare solo che sia una condizione sufficiente perché è vero che dati [$A=0$ and $alpha=(npi)/a$] ho [$f(0,y)=0$ e $f(a,y)=0$], ma potrei benissimo anche avere D=0=C, come illustrato.

Dove caspita sbaglio?

[pilloeffe]

Ciao canavese,

Se non ricordo male il problema è il seguente:

$(\del^2 f)/(\del y^2) = k^2 (\del^2 f)/(\del x^2)$

con le condizioni al contorno

1) $ f(0,y) = 0 $
2) $ f(a,y) = 0 $
3) $ f(x,0) = 0 $
4) $ f(x,b) = 0 $

(o altre analoghe).
Si suppone una soluzione del tipo $f = XY$, dove $X$ dipende soltanto da $x$ e $Y$ dipende soltanto da $y$. Sostituendola nell'equazione differenziale si ottiene $ XY'' = k^2 X'' Y $ ovvero $ (X'')/X = (Y'')/(k^2 Y) $
Dato che ogni membro deve essere una costante, diciamo $-\alpha^2 $, si ha:

$ (d^2 X)/(dx^2) + \alpha^2 X = 0 $

$ (d^2 Y)/(dy^2) + \beta^2 Y = 0 $

ove $\beta^2 := k^2\alpha^2 $

aventi le soluzioni seguenti:

$ X(x) = A cos(\alpha x) + B sin(\alpha x) $

$ Y(y) = C cos(\beta y) + D sin(\beta y) $

Sicché la soluzione è la seguente:

$ f(x,y) = X(x) \cdot Y(y) = (A cos(\alpha x) + B sin(\alpha x))(C cos(\beta y) + D sin(\beta y)) $

Ora è vero che può anche essere $A = B = 0 $ e/o $C = D = 0 $, ma in questi casi si otterrebbe la soluzione banale $f(x, y) = 0 $, che fisicamente è molto poco significativa.
Per determinare le costanti è più semplice procedere usando prima le condizioni al contorno 1) e 3) che coinvolgono lo $0$:

1) $f(0, y) = 0 \implies (A + 0)(C cos(\beta y) + D sin(\beta y)) = 0 \implies A = 0$ (certo, volendo anche $C = D = 0$, ma questa soluzione la scartiamo perché fornirebbe la poco significativa soluzione nulla);
3) $f(x, 0) = 0 \implies (B sin(\alpha x))(C + 0) \implies C = 0 $ (certo, volendo anche $A = B = 0$, ma questa soluzione la scartiamo perché fornirebbe la poco significativa soluzione nulla)

Quindi a questo punto possiamo scrivere

$ f(x,y) = (B sin(\alpha x)) (D sin(\beta y)) = BD sin(\alpha x) sin(\beta y) $

Considerando le altre due condizioni al contorno si ha:

2) $ f(a, y) = 0 \implies BD sin(\alpha a) sin(\beta y) = 0 \implies \alpha = (n\pi)/a $
4) $ f(x, b) = 0 \implies BD sin(\alpha x) sin(\beta b) = 0 \implies \beta = (n\pi)/b $

Quindi richiamando per comodità $A := BD $ la soluzione finale non banale dell'equazione differenziale proposta si può scrivere nella forma seguente:

$f(x, y) = A sin((n\pi)/a x) sin((n\pi)/b y) $