Tutto giusto, complimenti.
La derivata $f_x$ è continua perché è composta da funzioni di classe $C^oo$: infatti, derivando con il teorema di derivazione della funzione composta ed il TFCI ottieni:
$f_x(x,y,z) = 2x - e^(-x^2) sin x^2 + 3x^2 e^(-x^6) sin x^4 - x int_(x^3)^x e^(-t^2) cos (xt) "d" t + 1$
e si vede che $f_x(0,0,0) = 1$ e che $f_x(x,y,z)$ ha derivate di ogni ordine continue in $RR^3$ rispetto a tutte e tre le variabili.
E no, risolvere l'integrale non ti serve a nulla.
Per quanto riguarda l'equazione del piano tangente al grafico $x=phi(y,z)$ della funzione implicitamente definita dall'equazione, questo è dato da:
$f_x(0,0,0) x + f_y(0,0,0) y + f_z(0,0,0) z = 0 \ <=>\ x = 0$.
Ricorda che il grafico di $phi$ ed il suo piano tangente in $(0,0,0)$ vivono in $RR^3$; quindi l'equazione del piano non può contenere quattro variabili.
Sono sempre stato, e mi ritengo ancora un dilettante. Cioè una persona che si diletta, che cerca sempre di provare piacere e di regalare il piacere agli altri, che scopre ogni volta quello che fa come se fosse la prima volta. (Freak Antoni)