Integrale

[Joker1]

Salve, potete aiutarmi a risolvere il seguente integrale?
$$\int _{x^{3}}^{x} e^{-t^{2}} sen(xt)dt$$

[ghira]

Per avere una cosa più leggibile:

$\int _{x^{3}}^{x} e^{-t^{2}} sen(xt)dt$

[Mephlip]

Grazie per l'intervento, ghira.

Moderatore: Mephlip

Joker1: Per cortesia, modifica il messaggio per renderlo più leggibile; anche se ghira l'ha già fatto per te, è segno di gentilezza verso coloro che ti aiutano su questo forum. Grazie.

Venendo al problema, un modo è il seguente: denotando con \(\Im(z)\) la parte immaginaria di \(z\), osserva che \(\sin(xt)=\Im(e^{ixt})\) e che \(e^{-t^2}\) è reale per ogni \(x^3 \le t \le x\) in quanto \(x\) è reale (presumo). Puoi ora provare a completare il quadrato all'esponente di \(e^{-t^2+ixt}\).

[pilloeffe]

Ciao Joker1,

Se l'integrale proposto è

$\int_{x^3}^x e^{-t^{2}} sin(xt)\text{d}t $

osserverei che si ha:

$\int_{x^3}^x e^{-t^2} sin(xt) \text{d}t = \text{Im}[\int_{x^3}^x e^{-t^2 + ixt} \text{d}t] = \text{Im}[\sqrt(\pi)/2 e^(-x^2/4) \text{erf}(t - (i x)/2)]_{x^3}^x $

[Joker1]

Sì, è quello l'integrale. Scusatemi per il formato poco leggibile, ma non riesco a sistemarlo.

[Joker1]

Cosa significa erf()?

[Mephlip]

Tranquillo, basta che metti dei dollari che comprendono le formule come segue:

Codice:

$\int _{x^{3}}^{x} e^{-t^{2}} sen(xt)dt$

Se invece vuoi le formule centrate nella pagina, raddoppia i dollari:

Codice:

$$\int _{x^{3}}^{x} e^{-t^{2}} sen(xt)dt$$

[Joker1]

Grazie

[pilloeffe]

Cosa significa erf()

Si tratta della funzione degli errori, in inglese error function:

$\text{erf}(z) := 2/\sqrt{\pi}\int_0^z e^{- t^2}\text{d}t $

Potresti dare un'occhiata ad esempio ai seguenti link:
https://it.wikipedia.org/wiki/Funzione_degli_errori
https://en.wikipedia.org/wiki/Error_function
(qui fra gli External links c'è una tavola di integrali fra i quali c'è anche quello in esame)
https://mathworld.wolfram.com/Erf.html

[Joker1]

Va bene, grazie.