Integrale

[gugo82]

Salve, potete aiutarmi a risolvere il seguente integrale?
$$\int _{x^{3}}^{x} e^{-t^{2}} sen(xt)dt$$

Scusa la domanda, ma qual è il testo dell'esercizio?
Cosa devi farci con questo integrale?

[Joker1]

È un termine di un'equazione di cui viene chiesto di stabilire se definisce una funzione implicita. Ho chiesto la risoluzione sia per provare a togliere l'integrale sostituendolo con il suo risultato, sia per curiosità, perché non avevo idea di come trattare un integrale di questo tipo.

[gugo82]

Posta l'esercizio... Probabilmente risolvere l'integrale non serve assolutamente a nulla.

[Joker1]

Dire se l'equazione
$$x^2+y^2-\int _{x^{3}}^{x} e^{-t^{2}} sen(xt)dt+sen(yz)+x=0 $$
definisce implicitamente una funzione in un intorno dell'origine. Scrivere l'equazione del piano tangente nell'origine al grafico di tale funzione.

[gugo82]

Appunto... Ci sono teoremi che legano la possibilità di definire una funzione implicita alla determinazione di una soluzione (numerica) $(x_0,y_0)$ dell'equazione $F(x,y)=0$ ed al comportamento delle derivate parziali del primo membro, cioè $F_x$ ed $F_y$, nel punto $(x_0,y_0)$ (o intorno ad esso).
Conosci qualcuno di questi teoremi?

Quali sono le ipotesi da verificare?
Nel tuo caso, sono soddisfatte o no?

Una volta che hai riflettuto su questo, ti potrebbe tornare utile il Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale (che, per chiamarsi così, un motivo ci sarà pure, no?!?) ed un risultato di derivazione (figlio del TFCI e del Teorema di Derivazione della Funzione Composta) di cui si è scritto millenni fa qui.

[Joker1]

Relativamente alle funzioni implicite conosco il teorema del Dini.

[Joker1]

Puoi mostrarmi come risolverlo?

[gugo82]

Puoi mostrarmi come risolverlo?

Puoi mostrarmi che cosa hai fatto finora?
Hai verificato se sono soddisfatte le ipotesi?

[Joker1]

Ho preso in considerazione l'origine (perché è suggerito dal testo) e ho verificato che la f(x,y,z) (tutto il primo membro) è tale che f(0,0,0)=0, e inoltre la derivata di f rispetto la x è diversa da 0 in (0,0,0). Per completare le ipotesi devo avere la continuità della f e della derivata di f rispetto la variabile x, però ho difficoltà per la presenza dell'integrale. Gli altri termini sono chiaramente continui, l'integrale mi confonde.

[Mephlip]

È proprio per questo che gugo82 ti ha suggerito di rivedere quei concetti riguardo il teorema fondamentale del calcolo integrale: prova a ripassare quelli e vedere se riesci a sbloccarti.