Sto risolvendo il problema di Cauchy seguente:
\[
\begin{cases}
y''(t) - 4y'(t) + 8y(t) = e^{-2t} \\
y(0) = -1 \\
y'(0) = 0
\end{cases}
\]
Scrivo il polinomio caratteristico P \left( \lambda \right) dell'equazione differenziale omogenea:
\[ P \left( \lambda \right) = \lambda^2 - 4\lambda + 8 \]
trovandone due radici complesse:
\[
\lambda_1 = 2 + 2i \qquad \lambda_2 = 2 - 2i
\]
pertanto le soluzioni dell'omogenea associata sono date da:
\[
y(t) = c_1 e^{2t} \cos \left( 2t \right) + c_2 e^{2t} \sin \left( 2t \right)
\]
dove si nota che $ e^{-2t} $ non è in alcun modo presente.
Cerchiamo una soluzione della non omogenea nella forma $ y(t) = Ae^{-2t} $. L'equazione differenziale allora diventa:
\[
4Ae^{-2t} - 4 \left( -2Ae^{-2t} \right) + 8 \left( Ae^{-2t}\right) = e^{-2t} \leadsto 4A + 8A + 8A = 1 \leadsto A = \frac{1}{20}
\]
L'insieme delle soluzioni dell'equazione differenziale è data dunque da:
\[
y(t) = c_1 e^{2t} \cos \left( 2t \right) + c_2 e^{2t} \sin \left( 2t \right) + \frac{1}{20} e^{-2t}
\]
Per imporre le condizioni iniziali del problema di Cauchy, è necessario prima calcolare la derivata prima di $ y(t) $.
\[
y'(t) = 2c_1 e^{2t} \cdot \cos \left( 2t \right) + c_1 e^{2t} \left( -2 \sin \left( 2t \right) \right) + 2c_2 e^{2t} e^{2t} \cdot \sin \left( 2t \right) + c_2 e^{2t} 2 \cos \left( 2t \right) - \frac{1}{10e^{2t}}
\]
da cui ottengo, calcolando $ y(0) $ e $ y'(0) $ e ponendo le rispettive condizioni iniziali:
\[
\begin{cases}
2c_1 + 2c_2 - \frac{1}{10} = 0 \\
c_1 + \frac{1}{20} = -1
\end{cases}
\leadsto
\begin{cases}
c_1 = -\frac{21}{20} \\
c_2 = \frac{11}{10}
\end{cases}
\]
Penso di aver sbagliato qualcosa, ma non riesco a trovare l'inghippo. Potete aiutarmi?