Insiemi chiusi

[HowardRoark]

Stavo ripassando alcune definizioni sugli insiemi aperti, chiusi, sulla frontiera ecc. e vorrei avere conferma riguardo un modo per determinare se un insieme sia chiuso o meno. Fino ad ora per determinare se un insieme fosse chiuso ragionavo sempre sul complementare: se questo era aperto allora l'insieme di partenza era chiuso. Però credo sia equivalente dire che un insieme è chiuso se e solo se contiene la sua frontiera. Questa definizione credo si possa estendere anche nel caso in cui l'insieme contenga più frontiere, ad esempio ${(x,y) in RR^2 : x^2+y^2>1 ^^ x^2+y^2<=4}$. In questo caso si potrebbe concludere dicendo che l'insieme non è chiuso perché la frontiera interna ($x^2+y^2=1$) non è contenuta nell'insieme? Mi sembra un metodo più veloce piuttosto che quello che ragiona in termini di complementare dell'insieme.

[Mephlip]

Sì, l'equivalenza è vera. Tuttavia, non è sempre facile stabilire la frontiera di spazi topologici più generali (e, soprattutto, non espliciti come nel tuo esempio) rispetto a sottoinsiemi di \(\mathbb{R}^n\). Quindi, non è necessariamente un approccio più semplice di quello del passaggio al complementare.

[HowardRoark]

Capisco, grazie mille!

[otta96]

E poi di frontiera ce n'è solo una, mica tante.

[HowardRoark]

E poi di frontiera ce n'è solo una, mica tante.

Ma dici in ${(x,y)inRR^2 : x^2+y^2>1 ^^ x^2+y^2<=4}$? Perché il mio libro parla sia di frontiera interna che di frontiera esterna, cosa che in effetti mi sembra sensata se considero la definizione di frontiera. Detta a parole mie: la frontiera di un insieme è un insieme di punti $inRR^2$ tali che, per ogni intorno che posso tracciare di tali punti, una parte di esso giace nell'insieme e un'altra nel suo complementare. Spero di non aver scritto imprecisioni

[HowardRoark]

Comunque ho un altro dubbio su come rappresentare analiticamente la frontiera un insieme, lo scrivo qui. Ho questo insieme: $E={(x,y) in RR^2 : 1<y<3, -2<=x<=2}$.
Chiaramente l'insieme è un rettangolo, con i lati maggiori appartenenti all'insieme e quelli minori no. Per rappresentare a formule la frontiera, non avendo mai svolto esercizi di questo genere, ho pensato di fare così: frontiera di $E = {(x,y) in RR^2 : (-2, y) vv (2, y) ^^ 1<=y<=3}$. E' corretta una rappresentazione di questo genere?

[otta96]

il mio libro parla sia di frontiera interna che di frontiera esterna

E cosa intende?

considero la definizione di frontiera. Detta a parole mie: la frontiera di un insieme è un insieme di punti $inRR^2$ tali che, per ogni intorno che posso tracciare di tali punti, una parte di esso giace nell'insieme e un'altra nel suo complementare.

Infatti la frontiera è una sola, come dicevo.

Ma dici in ${(x,y)inRR^2 : x^2+y^2>1 ^^ x^2+y^2<=4}$?

In questo caso la frontiera è ${(x,y)inRR^2 : x^2+y^2=1 ^^ x^2+y^2=4}$, ha due componenti connesse ma è una.

[HowardRoark]

In questo caso la frontiera è ${(x,y)inRR^2 : x^2+y^2=1 ^^ x^2+y^2=4}$, ha due componenti connesse ma è una.

Ho capito cosa intendi, ti ringrazio per la precisazione.