Funzione composta in $RR^2$

[HowardRoark]

Sia $f(x,y)= x^2+y^2-1$ e $g(w) = sqrt(w) + ln(w)$. Se io volessi calcolare $g(f(x,y))$ otterrei $g(f(x,y))=sqrt(x^2+y^2-1) + ln(x^2+y^2-1)$. Questo risultato è corretto? Datemi conferma, siccome sono alle prime armi con le funzioni in due variabili.
Ma se invece volessi calcolare $f(g(w))$, come dovrei fare? La composizione di funzioni in generale non è commutativa e mi aspetto che la cosa valga anche in $RR^2$, però la differenza qui è che voglio applicare una funzione $g(w)$, così definita: $g: w in RR \to RR$, e poi una funzione $f: Im(g) sube RR \to RR^2$, cioè una funzione che trasforma un numero reale in 2 numeri, e questo mi sembra abbastanza strano.

Quindi, mi viene da pensare che nel caso di specie si possa fare solo $g(f(x,y))$ (perché così mi riconduco alla definizione di funzione in due variabili $f: X sube RR^2 \toRR$) e non il viceversa ($h: A subeRR \to RR^2$). Se questo fosse vero il problema della commutatività non si porrebbe proprio.
Cosa ne pensate?

[Mephlip]

È corretto il calcolo di $g\circ f$. Sì, non si può fare $f \circ g$ infatti. La funzione composta non è sempre definita. Il codominio della funzione più interna deve essere un sottoinsieme del dominio della funzione più esterna. Quindi, diciamo che nel tuo caso non è un esercizio proprio preciso perché mancano vari domini e codomini (che, in generale, non necessariamente coincidono, rispettivamente, con i domini naturali e le immagini). E l'operazione di composizione non è, in generale, commutativa.

[HowardRoark]

Il codominio della funzione più interna deve essere un sottoinsieme del dominio della funzione più esterna.

Ok, il dominio della funzione più esterna sarebbe $X sube RR^2$ e $g: AsubeRR \to RR$, pertanto siccome il codominio della funzione più interna in questo caso non coincide mai col dominio della funzione più esterna, il problema di fare $f(g(w))$ non si pone proprio.

[HowardRoark]

diciamo che nel tuo caso non è un esercizio proprio preciso perché mancano vari domini e codomini (che, in generale, non necessariamente coincidono, rispettivamente, con i domini naturali e le immagini).

Me lo sono inventato per capire come funzionino le cose in $RR^2$ e forse col tuo messaggio precedente mi hai un po' chiarito le idee.

[Mephlip]

Ecco, cerca di evitare di inventare esercizi quando sei alle prime armi su un argomento: potresti crearti degli esempi imprecisi o convincerti di cose non vere. Al netto del fatto che anche i libri di testo sbagliano, comunque scritti da esperti. Poi, una volta che hai le definizioni ben precise in testa, puoi provare a costruirti degli esempi da solo (che è cosa buona e giusta). Quindi: bravo perché stai studiando attivamente, ma le basi vanno prima viste su fonti autorevoli .

[HowardRoark]

Beh ma io cerco di inventarmi degli esempi perché se non lo facessi molti concetti non li capirei a fondo. Non so se fra "esempi" ed "esecizi" ci sia molta differenza. Sul fatto di convicermi di cose non vere, credo che questo sarebbe più facile se studiassi limitandomi a leggere il libro senza sviluppare degli esempi. Non sto facendo nulla di troppo complicato, quindi riesco a rendermi conto quasi sempre se c'è qualcosa che perlomeno non quadra, poi devo solo prendermi la briga di scrivere su questo bellissimo forum e far capire agli altri dov'è il mio dubbio.

[Mephlip]

No ma attenzione, farsi esempi va benissimo per capire bene cosa si sta studiando: fai benissimo a farlo! Quello che intendevo io è che, usando come esempio questo dubbio sulla composizione, se prima di farti degli esempi sulla composizione studi per bene la definizione di composizione ti rendi conto che essa dice subito che il codominio della funzione interna deve essere un sottoinsieme del dominio della funzione esterna. Saputo questo e saputo operativamente che significa comporre (sostituire l'espressione analitica della funzione interna al posto della/e variabile/i della funzione esterna), puoi assolutamente iniziare a farti degli esempi (e per questo ti dico bravo nel farlo, perché è un tipo di studio attivo). Ma, concorderai con me, che se avessi visto dapprima la definizione su un testo (magari con un pochino di premessa informale che spiega cosa si sta facendo quando si compone, e quindi il senso intuitivo di cosa si vuole definire con la composizione) questo dubbio non ti sarebbe neanche venuto. Ci tengo a precisare che non ho un tono "alterato", semplicemente preferisco evitarti la perdita di tempo prezioso per dei dubbi che puoi evitare .

[HowardRoark]

Il mio libro dà questa definizione di funzione composta: "Sia $X sube RR^2$ e sia $Y sube RR$. Sia $f: X \to Im (f)$ e $g: Y \to Im(g)$. Si può definire la funzione composta:

$h: X \to RR$, o $h=g(f(x,y))$.

Poi dà un esempio di una funzione composta con $f(x,y)=1+e^(x+y)$ e $g(w)= ln(w)$.
Fine trattazione sulle funzioni composte.

In effetti c'è scritto che la funzione composta va da $RR^2 \to RR$ e quindi il mio dubbio poteva essere risolto, però a mio modo di vedere alcune osservazione sarebbe stato meglio se fossero state esplicitate, piuttosto che vedere tutto racchiuso in una definizione con un singolo esempio.
Infatti il mio libro è una specie di manualetto pronto all'uso per economisti, credo tu abbia un'idea molto più rigorosa di "libro di testo"

[HowardRoark]

Riprendendo la definizione del mio testo, per rendere più chiaro il concetto si poteva scrivere $f: X \to Im(f)subeY$, $Y \to Im(g)$, così si sarebbe capito più facilmente quello che ho intuito attraverso un esempio.